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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.1 - Ex. 23

Calcule a integral

int_(l n ( pi // 6 ))^(l n ( pi // 2 )) 2 e^v cos e^v d v

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

int_(l n ( pi // 6 ))^(l n ( pi // 2 )) 2 e^v cos e^v d v

Esta é uma integral definida. Vamos resolver inicialmente a integral indefinida associada a ela. Isto é,

int 2 e^v cos e^v d v

Façamos uma mudança de variável. Se chamarmos u = e^v , consequentemente, teremos d u = e^v d v . Portanto, fazendo esta substituição na integral, obtemos:

int 2 e^v cos e^v d v = int 2 cos u d u

E agora chegamos a uma função facilmente integrável!

Passo 3

Resolvendo a nossa integral, temos:

int 2 cos u d u = 2 sen u + k

Voltando para a variável inicial, temos:

2 sen u + k = 2 sen e^v + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k , pois estamos resolvendo uma integral indefinida!

Passo 4

Vamos agora resolver a integral definida através do teorema fundamental do cálculo. Portanto, temos:

int_(l n ( pi // 6 ))^(l n ( pi // 2 )) 2 e^v cos e^v d v = ([2 sen e^v]|_(ln ( pi // 6 ))^(ln ( pi // 2 ))

int_(l n ( pi // 6 ))^(l n ( pi // 2 )) 2 e^v cos e^v d v = 2 * sen e^(ln ((pi)/(2))) - 2 sen e^(ln ((pi)/(6)))

int_(l n ( pi // 6 ))^(l n ( pi // 2 )) 2 e^v cos e^v d v = 2 * sen (pi)/(2) - 2 sen (pi)/(6)

int_(l n ( pi // 6 ))^(l n ( pi // 2 )) 2 e^v cos e^v d v = 2 - (2)/(2) = 2 - 1 = 1

Resposta

int_(l n ( pi // 6 ))^(l n ( pi // 2 )) 2 e^v cos e^v d v = 1

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