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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 65

  1. Faça uma substituição u dada por (5) para converter o integrando em uma função racional de u e, então, calcule a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral (sem usar substituições) e, então, confirme que o resultado é equivalente de (a).

∫ 1 1 + sen ⁡ x + cos ⁡ x d x

Passo 1

Nós usaremos a fórmula:

tg ⁡ 2 x = 2 tg ⁡ x 1 - tg 2 ⁡ x

Usaremos como substituição:

u = tg ⁡ x 2

x 2 = tg - 1 ⁡ u

d x = 2 1 + u 2 d u

Vamos começar a fazer algumas manipulações usando a fórmula dada no início do exercício:

tg ⁡ x = 2 tg ⁡ x 2 1 - tg 2 ⁡ x 2

Então:

sen ⁡ x cos ⁡ x = 2 tg ⁡ x 2 1 - tg 2 ⁡ x 2 . 1 + tg 2 ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2

Podemos dizer que:

sen ⁡ x   = 2 tg ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 = 2 u 1 + u 2  

E também:

1 cos ⁡ x = 1 + tg 2 ⁡ x 2 1 - tg 2 ⁡ x 2

Logo:

cos ⁡ x = 1 - tg 2 ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 = 1 - u 2 1 + u 2

Passo 2

Então:

∫ 1 1 + sen ⁡ x + cos ⁡ x d x = ∫ 1 1 + 2 u 1 + u 2 + 1 - u 2 1 + u 2 . 2 1 + u 2 d u

Então:

∫ 1 1 + sen ⁡ x + cos ⁡ x d x = ∫ 1 1 + u 2 + 2 u + 1 - u 2 1 + u 2 . 2 1 + u 2 d u

Então:

∫ 1 1 + sen ⁡ x + cos ⁡ x d x = ∫ 1 + u 2 2 ( 1 + u ) . 2 1 + u 2 d u = ∫ 1 1 + u d u

∫ 1 1 + sen ⁡ x + cos ⁡ x d x = ln ⁡ u + 1 + C

Substituindo u :

∫ 1 1 + sen ⁡ x + cos ⁡ x d x = ln ⁡ tg ⁡ x 2 + 1 + C

Passo 3

Utilizando um CAS:

Resposta

∫ 1 1 + sen ⁡ x + cos ⁡ x d x = ln ⁡ tg ⁡ x 2 + 1 + C

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