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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 40

  1. Faça uma substituição u apropriada e, então, use a tabela de integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS; use-o para calcular a integral (sem usar substituições) e, então, confirme que o resultado é equivalente ao de (a).

∫ e x 3 - 4 e 2 x d x

Passo 1

Para resolver esse exercício, fazermos as substituições com:

    u = 2 e x

d u = 2 e x d x

Então, podemos dizer que:

∫ e x 3 - 4 e 2 x d x = ∫ 1 3 - u 2 . d u 2

∫ e x 3 - 4 e 2 x d x =     1 2   ∫ 1 3 - u 2 d u

Resolveremos a integral aplicando na seguinte fórmula:

∫ d u a 2 - u 2   = 1 2 a ln ⁡ u + a u - a + C

Se a 2 = 3 :

∫ e x 3 - 4 e 2 x d x = 1 2 1 2 3 ln ⁡ u + 3 u - 3 + C

Substituindo u = 2 e x :

∫ e x 3 - 4 e 2 x d x = 1 4 3 ln ⁡ 2 e x + 3 2 e x - 3 + C

Resposta

∫ e x 3 - 4 e 2 x d x = 1 4 3 ln ⁡ 2 e x + 3 2 e x - 3 + C

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