Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.1 - Ex. 43

Calcule a integral

int_0^9 (2 log_10 (x + 1))/(x + 1) d x

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

int_0^9 (2 log_10 (x + 1))/(x + 1) d x

Esta é uma integral definida. Vamos resolver inicialmente a integral indefinida associada a ela. Isto é,

int (2 log_10 (x + 1))/(x + 1) d x

Façamos inicialmente uma mudança de variável. Seja u = log_10 (x + 1) , consequentemente, temos d u = (d x)/((x + 1) ln 10) . Portanto, temos:

int (2 log_10 (x + 1))/(x + 1) d x = int 2 ln 10 u d u = 2 ln 10 * int u d u

E agora chegamos a uma função facilmente integrável!

Passo 3

Vamos obter a primitiva da nossa integral. Desta forma, temos:

2 ln 10 * int u d u = 2 ln 10 * (u^2)/(2) + k

Voltando para a variável inicial, temos:

ln 10 * u^2 + k = ln 10 * (log_10 (x + 1))^2 + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k , pois estamos resolvendo uma integral indefinida!

Passo 4

Vamos agora resolver a integral definida através do teorema fundamental do cálculo. Portanto, temos:

int_0^9 (2 log_10 (x + 1))/(x + 1) d x = ([ln 10 * (log_10 (x + 1))^2]|_0^9

int_0^9 (2 log_10 (x + 1))/(x + 1) d x = ln 10 * [ (log_10 1 0)^2 - (log_10 1)^2 ]

int_0^9 (2 log_10 (x + 1))/(x + 1) d x = ln 10 * [ 1 - 0 ]

int_0^9 (2 log_10 (x + 1))/(x + 1) d x = ln 10

Resposta

int_0^9 (2 log_10 (x + 1))/(x + 1) d x = ln 10

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule as integrais indefinidas nos Exercícios 1-16 usando as substituições dadas para reduzir as integrais à forma padrão ∫ d x 5 x + 8 a) u = 5 x + 8 b) u = 5 x + 8
Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.int cossec ((v - pi)/(2)) cotg ((v - pi)/(2)) d v
Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.int (1)/(x^3) sqrt((x^2 - 1)/(x^2)) d x
Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.int (1)/(t^2) cos ((1)/(t) - 1) d t
Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.int (sen (2 t + 1))/(cos^2 (2 t + 1)) d t