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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.1 - Ex. 42

Calcule a integral

int_(1 // 10)^(10) (log_10 (10 x))/(x) d x

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

int_(1 // 10)^(10) (log_10 (10 x))/(x) d x

Esta é uma integral definida. Vamos resolver inicialmente a integral indefinida associada a ela. Isto é,

int (log_10 (10 x))/(x) d x

Façamos inicialmente uma mudança de variável. Seja u = log_10 (10 x) , consequentemente, temos d u = (10 d x)/((10 x) ln 10) . Portanto, temos:

int (log_10 (10 x))/(x) d x = int ln 10 u d u = ln 10 * int u d u

E agora chegamos a uma função facilmente integrável!

Passo 3

Vamos obter a primitiva da nossa integral. Desta forma, temos:

ln 10 * int u d u = ln 10 * (u^2)/(2) + k

Voltando para a variável inicial, temos:

(ln 10)/(2) * u^2 + k = (ln 10)/(2) * (log_10 (10 x))^2 + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k , pois estamos resolvendo uma integral indefinida!

Passo 4

Vamos agora resolver a integral definida através do teorema fundamental do cálculo. Portanto, temos:

int_(1 // 10)^(10) (log_10 (10 x))/(x) d x = ([(ln 10)/(2) * (log_10 (10 x))^2]|_(1 // 10)^(10)

int_(1 // 10)^(10) (log_10 (10 x))/(x) d x = (ln 10)/(2) * [ (log_10 100)^2 - (log_10 1)^2 ]

int_(1 // 10)^(10) (log_10 (10 x))/(x) d x = (ln 10)/(2) * [ 4 - 0 ]

int_(1 // 10)^(10) (log_10 (10 x))/(x) d x = 2 ln 10

Resposta

int_(1 // 10)^(10) (log_10 (10 x))/(x) d x = 2 ln 10

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