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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 48

  1. Faça uma substituição u apropriada e, então, use a tabela de integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS; use-o para calcular a integral (sem usar substituições) e, então, confirme que o resultado é equivalente ao de (a).

∫ x ln ⁡ ( 2 + x 2 )   d x

Passo 1

Para resolver esse exercício, fazermos as substituições com:

    u = 2 + x 2

d u = 2 x   d x

Então, podemos dizer que:

∫ x ln ⁡ ( 2 + x 2 )   d x = ∫ ln ⁡ u   d u 2

Então: ∫ x ln ⁡ ( 2 + x 2 )   d x = 1 2 ∫ ln ⁡ u   d u

Resolveremos a integral aplicando na seguinte fórmula:

∫ ln ⁡ u d u = u ln ⁡ u   - u + C

Susbstituindo na fórmula, temos:

∫ x ln ⁡ 2 + x 2   d x = 1 2 u ln ⁡ u   - u + C

Dessa forma:

∫ x ln ⁡ 2 + x 2   d x = 1 2 u ln ⁡ u   - u 2 + C

Substituindo u = 2 + x 2 :

∫ x ln ⁡ 2 + x 2   d x = 1 2 ( 2 + x 2 ) ln ⁡ ( 2 + x 2 )   - ( 2 + x 2 ) 2 + C

Resposta

∫ x ln ⁡ 2 + x 2   d x = 1 2 ( 2 + x 2 ) ln ⁡ ( 2 + x 2 )   - ( 2 + x 2 ) 2 + C

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