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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.1 - Ex. 38

Calcule a integral

int_1^4 (log_2 x)/(x) d x

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

int_1^4 (log_2 x)/(x) d x

Esta é uma integral definida. Vamos resolver inicialmente a integral indefinida associada a ela. Isto é,

int (log_2 x)/(x) d x

Façamos inicialmente uma mudança de variável. Seja u = log_2 x , consequentemente, temos d u = (d x)/(x ln 2) . Portanto, temos:

int (log_2 x)/(x) d x = ln 2 int u d u

E agora chegamos a uma função facilmente integrável!

Passo 3

Vamos obter a primitiva da nossa integral. Desta forma, temos:

ln 2 * int u d u = ln 2 * (u^2)/(2) + k

Voltando para a variável inicial, temos:

ln 2 * (u^2)/(2) + k = ln 2 * ((log_2 x)^2)/(2) + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k , pois estamos resolvendo uma integral indefinida!

Passo 4

Vamos agora resolver a integral definida através do teorema fundamental do cálculo. Portanto, temos:

int_1^4 (log_2 x)/(x) d x = ([ln 2 * ((log_2 x)^2)/(2)]|_1^4

int_1^4 (log_2 x)/(x) d x = (ln 2)/(2) * [ (log_2 4)^2 - (log_2 1)^2 ]

int_1^4 (log_2 x)/(x) d x = (ln 2)/(2) * [ 2^2 - 0 ]

int_1^4 (log_2 x)/(x) d x = (ln 2)/(2) * 4 = 2 ln 2

Resposta

int_1^4 (log_2 x)/(x) d x = 2 ln 2

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