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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 41

  1. Faça uma substituição u apropriada e, então, use a tabela de integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS; use-o para calcular a integral (sem usar substituições) e, então, confirme que o resultado é equivalente ao de (a).

∫ e x 3 - 4 e 2 x   d x

Passo 1

Para resolver esse exercício, fazermos as substituições com:

    u = 2 e x

d u = 2 e x d x

Então, podemos dizer que:

∫ e x 3 - 4 e 2 x   d x = ∫ 3 - u 2 . d u 2

∫ e x 3 - 4 e 2 x   d x = 1 2 ∫ 3 - u 2 d u

Resolveremos a integral aplicando na seguinte fórmula:

∫ a 2 - u 2   d u = u 2 a 2 - u 2 + a 2 2 arc sen ⁡ u a + C

Se a 2 = 3 :

∫ e x 3 - 4 e 2 x   d x = 1 2 u 2 3 - u 2 + 3 2 arc sen ⁡ u 3

Substituindo u = 2 e x :

∫ e x 3 - 4 e 2 x   d x = 1 2 2 e x 2 3 - 4 e 2 x + 3 2 arc sen ⁡ 2 e x 3

Retirando as constantes de dentro:

∫ e x 3 - 4 e 2 x   d x = 1 4 2 e x 3 - 4 e 2 x + 3 arc sen ⁡ 2 e x 3

Resposta

∫ e x 3 - 4 e 2 x   d x = 1 4 2 e x 3 - 4 e 2 x + 3 arc sen ⁡ 2 e x 3

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