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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 61

  1. Faça uma substituição u apropriada da forma u = x 1 / n ou u = x + a 1 / n e, então, calcule a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, confirme que o resultado é equivalente ao de (a).

∫ d x x 1 / 2 - x 1 / 3  

Passo 1

Faça uma substituição da forma u = x 1 / n .

Se :

u = x 1 / 6

u 6 = x

6 u 5 d u = d x

Podemos reescrever a equação como:

∫ d x x - x 3   = ∫ d x x 1 / 2 - x 1 / 3    

Aplicando a substituição, temos :

∫ d x x - x 3 = ∫ 6 u 5 d u ( u 6 ) 1 2 - ( u 6 ) 1 3 = 6 ∫ u 5 d u u 3 - u 2 = 6 ∫ u 3 d u u - 1 =

Usaremos a divisão que diz que:

u 3 u + 1 = u 2 + u + 1 + 1 u - 1

Substituindo:

∫ d x x + x 3 = 6 ∫ u 3 d u u + 1 = 6 ∫ u 2 + u + 1 + 1 u - 1 d u

Integrando aplicando ∫ u n d u = u n + 1 n + 1 e também ∫ 1 u d u = ln ⁡ u + C :

∫ d x x + x 3 = 6 u 3 3 + u 2 2 + u + ln ⁡ u - 1 + C

Substituindo u = x 1 / 6 :

∫ d x x + x 3 = 6 x 1 / 6 3 3 + x 1 / 6 2 2 + x 1 / 6 + ln ⁡ x 1 / 6 - 1 + C

Resposta

∫ d x x + x 3 = 6 x 1 / 6 3 3 + x 1 / 6 2 2 + x 1 / 6 + ln ⁡ x 1 / 6 - 1 + C

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