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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 7a

Calcule.

int_0^1 x sqrt(x^2 + 3) d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = x^2 + 3

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 x + 0 d x -> d u = 2 x d x -> (d u)/(2) = x d x

E temos que os novos limites de integração vão ser:

x = 0 -> u = 0^2 + 3 = 3

x = 1 -> u = 1^2 + 3 = 4

Vamos agora fazer a substituição:

int_0^1 x sqrt(x^2 + 3) d x = int_3^4 (sqrt(u))/(2) d u = int_3^4 (u^((1)/(2)))/(2) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

int (u^((1)/(2)))/(2) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int (u^((1)/(2)))/(2) d u = (1)/(2) int u^((1)/(2)) d u = (1)/(2) ((u^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1)) = (1)/(2) ((u^((3)/(2)))/((3)/(2))) = (1)/(2) * (2 u^((3)/(2)))/(3) = (u^((3)/(2)))/(3) + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Ficamos então com:

int_3^4 (u^((1)/(2)))/(2) d u = ((u^((3)/(2)))/(3))_3^4 = (4^((3)/(2)))/(3) - ((3^((3)/(2)))/(3)) = (8)/(3) - (sqrt(27))/(3) = (8 - sqrt(27))/(3)

Resposta

int_0^1 x sqrt(x^2 + 3) d x = (8 - sqrt(27))/(3)

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