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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 1a

Calcule.

int_1^2 (x - 2)^5 d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = x - 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0 d x -> d u = d x

E temos que os novos limites de integração vão ser:

x = 1 -> u = 1 - 2 = - 1

x = 2 -> u = 2 - 2 = 0

Vamos agora fazer a substituição:

int_1^2 (x - 2)^5 d x = int_(- 1)^0 u^5 d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

int u^5 d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int u^5 d u = (u^(5 + 1))/(5 + 1) = (u^6)/(6) + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Ficamos então com:

int_(- 1)^0 u^5 d u = ((u^6)/(6))_(- 1)^0 = (0^6)/(6) - ((- 1)^6)/(6) = - (1)/(6)

Resposta

int_1^2 (x - 2)^5 d x = - (1)/(6)

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