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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 1f

Calcule.

int_1^2 (2)/((3 x - 2)^3) d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = 3 x - 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 3 - 0 d x -> d u = 3 d x

E temos que os novos limites de integração vão ser:

x = 1 -> u = 3 * 1 - 2 = 1

x = 2 -> u = 3 * 2 - 2 = 4

Vamos agora fazer a substituição:

int_1^2 (2)/((3 x - 2)^3) d x = int_1^4 (2)/(3 u^3) d u = int_1^4 (2 u^(- 3))/(3) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

int (2 u^(- 3))/(3) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int (2 u^(- 3))/(3) d u = (2)/(3) int u^(- 3) d u = (2)/(3) * ((u^(- 3 + 1))/(- 3 + 1)) = (2)/(3) * ((u^(- 2))/(- 2)) = (u^(- 2))/(- 3) = - (1)/(3 u^2) + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Ficamos então com:

int_1^4 (2 u^(- 3))/(3) d u = (- (1)/(3 u^2))_1^4 = - (1)/(3 * 4^2) - (- (1)/(3 * 1^2)) = - (1)/(48) + (1)/(3) = (- 1 + 16)/(48) = (15)/(48) = (5)/(16)

Resposta

int_1^2 (2)/((3 x - 2)^3) d x = (5)/(16)

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