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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 57

Faça uma substituição u apropriada da forma u = x 1 / n ou u = x + a 1 / n e, então, calcule a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, confirme que o resultado é equivalente ao de (a).

∫ d x x - x 3  

Passo 1

Faça uma substituição da forma u = x 1 / n .

Se :

u = x 1 / 3

u 3 = x

3 u 2 d u = d x

Podemos reescrever a equação como:

∫ d x x - x 3   = ∫ d x x - x 1 / 3    

Aplicando a substituição, temos :

∫ d x x - x 3 = ∫ 3 u 2 d u u 3 - u = 3 ∫ u 2 d u u ( u 2 - 1 ) = 3 ∫ u d u u 2 - 1

Aplicando a substituição:

t = u 2 - 1

d u = 2 u d u

Então:

∫ d x x - x 3 = 3 ∫ u d u u 2 - 1 = 3 ∫ 1 2 d t t = 3 2 ∫ d t t = 3 2 ln ⁡ t + C

Substituindo t = u 2 - 1 :

∫ d x x - x 3 = 3 ∫ u d u u 2 - 1 = 3 2 ln ⁡ u 2 - 1 + C

Então substituindo u = x 1 / 3 :

∫ d x x - x 3   = 3 2 ln ⁡ x 2 / 3 - 1 + C

Passo 2

Usando um CAS (pode ser até mesmo um programa online como é o caso do Symbolab):

Resposta

∫ d x x - x 3   = 3 2 ln ⁡ x 2 / 3 - 1 + C

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