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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 54

(a) Faça uma substituição u apropriada da forma u = x 1 / n ou u = x + a 1 / n e, então, calcule a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, confirme que o resultado é equivalente ao de (a).

∫ x x + 1   d x

Passo 1

Podemos reescrever:

∫ x x + 1   d x = ∫ x x + 1 1 / 2   d x

Faça uma substituição da forma u = x + a 1 / n .

Se :

u = x + 1 1 2

u 2 = x + 1

2 u d u = d x

x = u 2 - 1

Aplique a substituição.

∫ x x + 1   d x = ∫ u 2 - 1 u 2 u d u  

Multiplicando e simplificando: ∫ x x + 1   d x = ∫ 2 u 2 - 1 d u = 2 ∫ u 2 - 1 d u

Para integral, vamos aplicar a fórmula que diz que:

∫ u n d u = u n + 1 n + 1 + C

Integrando:

∫ x x + 1   d x = 2 u 3 3 - u + C = 2 3 u 3 - 2 u + C

Substituindo u = x + 1 1 2 :

∫ x x + 1   d x = 2 3 ( x + 1 ) 3 / 2 - 2 x + 1 1 / 2 + C

Passo 2

Usando um CAS (pode ser até mesmo um programa online como é o caso do Symbolab):

Resposta

∫ x x + 1   d x = 2 3 ( x + 1 ) 3 / 2 - 2 x + 1 1 / 2 + C

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