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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 67

Avalie a integral definida.

∫ 1 2 x x - 1 d x

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular a integral definida dada por:

∫ 1 2 x x - 1 d x

Parece complicado?

Quando temos uma integral definida onde temos que integrar uma função f x em um intervalo a , b , a primeira coisa a se fazer é analisar o domínio da função f ...

Se f for contínua em todo o intervalo a , b e não possuir nenhuma assíntota nesse intervalo, podemos seguir para o cálculo da integral. Mas se f for descontínua e possuir uma assíntota em um ponto x = c , onde c ∈ a , b podemos afirmar que a integral de f no intervalo a , b diverge.

Se nesse caso, a primeira opção for válida, podemos imaginar que calcular a integral dessa função vai ser muito difícil.

Mas para facilitar nossa vida, podemos aplicar o método da substituição:

Esse método consiste em substituir parte da função f x por uma variavel u e fazer uma mudança de variáveis na integral seguindo um passa-a-passo.

∫ f x d x → ∫ g u d u

  • Substituir parte da função f x por u .
  • Derivar u em relação a x para obter d u / d x e isolar d x em um lado da igualdade.
  • Substituir u e d x na integral.
  • Substituir os limites de integração de x em u para obter os limites de integração em u .
  • Calcular a integral!

Lembrando que encontrar a substituição correta depende da nossa sagacidade em conseguir visualizar como podemos simplificar a integral... então quanto mais questões fizermos, melhor vai ser.

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Nossa integral é dada por:

∫ 1 2 x x - 1 d x

E nossa função de integração é:

f x = x x - 1

Para f existir, o que está dentro da raiz tem que ser ≥ 0 .

x - 1 ≥ 0

x ≥ 1

Nosso intervalo de integração é 1,2 , então nossa função f é contínua em todo o intervalo de integração, logo, podemos calcular a integral sem problema nenhum.

Bora lá!

Passo 3

Podemos chamar o que está dentro da raiz de u , ou seja:

u = x - 1

Derivando e isolando d x em um lado da igualdade...

d u d x = 1 → d x = d u

Agora vamos substituir os limites de integração...

Quando x = 1 .

u = 1 - 1 = 0

Quando x = 2 .

u = 2 - 1 = 1

Assim substituindo u , d x e os limites de integração na integral, vamos obter:

∫ 1 2 x x - 1 d x → ∫ 0 1 x u d u

Perceba que ainda sobrou um x ali na integral, então vamos voltar para a equação de u e isolar x em um lado da igualdade.

u = x - 1

x = u + 1

Substituindo na integral...

∫ 0 1 u + 1 u d u

∫ 0 1 u 3 2 + u 1 2 d u

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Viu só? Conseguimos transformar uma integral complexa em uma integral relativamente simples...

Para resolvê-la, vamos aplicar a regra da potência.

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + C

Ou seja:

∫ u 3 2 + u 1 2 d u = u 3 2 + 1 3 2 + 1 + u 1 2 + 1 1 2 + 1 + C = u 5 2 5 2 + u 3 2 3 2 + C

∫ u 3 2 + u 1 2 d u = 2 5 u 5 2 + 2 3 u 3 2 + C

Por fim aplicamos os limites de integração.

∫ 0 1 u 3 2 + u 1 2 d u = 2 5 1 5 2 + 2 3 1 3 2 + C - 2 5 0 5 2 + 2 3 0 3 2 + C

∫ 0 1 u 3 2 + u 1 2 d u = 16 15

Portanto, voltando para a integral do enunciado, temos:

∫ 1 2 x x - 1 d x = 16 15

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

∫ 1 2 x x - 1 d x = 16 15

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