Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 67
Avalie a integral definida.
Passo 1
E aí! tudo certinho?
Nesse problema temos que calcular a integral definida dada por:
Parece complicado?
Quando temos uma integral definida onde temos que integrar uma função em um intervalo , a primeira coisa a se fazer é analisar o domínio da função ...
Se for contínua em todo o intervalo e não possuir nenhuma assíntota nesse intervalo, podemos seguir para o cálculo da integral. Mas se for descontínua e possuir uma assíntota em um ponto , onde podemos afirmar que a integral de no intervalo diverge.
Se nesse caso, a primeira opção for válida, podemos imaginar que calcular a integral dessa função vai ser muito difícil.
Mas para facilitar nossa vida, podemos aplicar o método da substituição:
Esse método consiste em substituir parte da função por uma variavel e fazer uma mudança de variáveis na integral seguindo um passa-a-passo.
- Substituir parte da função por .
- Derivar em relação a para obter e isolar em um lado da igualdade.
- Substituir e na integral.
- Substituir os limites de integração de em para obter os limites de integração em .
- Calcular a integral!
Lembrando que encontrar a substituição correta depende da nossa sagacidade em conseguir visualizar como podemos simplificar a integral... então quanto mais questões fizermos, melhor vai ser.
Sacou? Bora começar!
Passo 2
Nossa integral é dada por:
E nossa função de integração é:
Para existir, o que está dentro da raiz tem que ser .
Nosso intervalo de integração é , então nossa função é contínua em todo o intervalo de integração, logo, podemos calcular a integral sem problema nenhum.
Bora lá!
Passo 3
Podemos chamar o que está dentro da raiz de , ou seja:
Derivando e isolando em um lado da igualdade...
Agora vamos substituir os limites de integração...
Quando .
Quando .
Assim substituindo , e os limites de integração na integral, vamos obter:
Perceba que ainda sobrou um ali na integral, então vamos voltar para a equação de e isolar em um lado da igualdade.
Substituindo na integral...
Tranquilo até aqui?
Passo 4
Viu só? Conseguimos transformar uma integral complexa em uma integral relativamente simples...
Para resolvê-la, vamos aplicar a regra da potência.
Ou seja:
Por fim aplicamos os limites de integração.
Portanto, voltando para a integral do enunciado, temos:
E aí! o que achou? Responde Aí!