Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 8
Um retângulo tem dois cantos inferiores no eixo e dois cantos superiores na curva . Dentre todos esses retângulos, quais as dimensões daquele que tem maior área.
Passo 1
Uma imagem pode nos ajudar a raciocinar melhor sobre qual é a nossa situação:
Esse é um típico exercício de otimização. O cálculo diferencial é uma ferramenta que nos ajuda muito na resolução desses casos, tão recorrentes no dia a dia.
Nesse caso, queremos inserir um retângulo com a maior área possível dentro dessa parábola, de forma que o retângulo é limitado em um dos lados (a base) pelo eixo .
Passo 2
Agora, temos que a área do retângulo é dada pelo produto dos seus lados. Vamos assumir que seja a base e a altura. Teremos:
Nisso, precisamos escrever a área desse retângulo em função apenas de uma variável. No caso, vamos buscar escrever apenas em função de , pra termos uma .
Como correlacionamos e então?
Nesse caso, não tem muito mistério. Se temos o retângulo com a base, de tamanho , limitada pelo eixo , a altura desse retângulo vai corresponder obrigatoriamente a , que nada mais é que o valor de aplicado na função que descreve a parábola!
Então, temos basicamente:
Agora, reescrevemos a expressão pra área, substituindo essa expressão pra . Vamos ter:
Passo 3
Agora temos uma função que descreve a nossa área. Por nossos conhecimentos de funções, é descrita por uma parábola cúbica, que vai ter um ponto de mínimo e um ponto de máximo! Você pode verificar isso em um programa de gráficos.
Queremos o ponto de máximo, que vai nos dar a maior área. E como fazer isso?
Se você ainda não sabe, ou talvez não lembre, mas um dos teoremas do Cálculo (Teorema de Fermat) diz que, nos pontos de máximo e de mínimo de uma função (quando possui) a derivada se anula.
Logo, podemos pegar , derivar e igualar a zero! Os valores de que acharmos atribuídos a essa derivada nula vão ser os pontos de máximo e mínimo.
Passo 4
Derivando, temos:
Igualamos isso a zero:
e
Determinados os pontos de derivada nula, pontos críticos, identificamos qual deles corresponde ao ponto de máximo pelo teste da derivada segunda.
Derivamos novamente a função e aplicamos os valores e . Sendo o valor positivo, temos ponto de mínimo; negativo, ponto de máximo, que é o qual nos interessa
Derivamos:
Pra :
Assim, temos que é nosso ponto de máximo.
Passo 5
Mas, o exercício não acaba aqui. Fomos solicitados pelas dimensões do retângulo.
Já sabemos que uma das dimensões é , precisamos da outra dimensão, .
Já temos a expressão pra área do retângulo. Vamos aplicar o valor de que temos nela e determinar :
Tendo o valor da área, conseguimos determinar pela equação . Temos:
Resposta
São as dimensões e