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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 55

(a) Faça uma substituição u apropriada da forma u = x 1 / n ou u = x + a 1 / n e, então, calcule a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, confirme que o resultado é equivalente ao de (a).

∫ x 5 x 3 + 1   d x

Passo 1

Faça uma substituição da forma u = x + a 1 / n .

Se :

u = x 3 + 1 1 2

d u = 3 x 2 2 x 3 + 1 d x

d u = 3 x 2 2 u d x

Podemos reescrever a equação como:

∫ x 5 x 3 + 1   d x = ∫ x 3 x 2 x 3 + 1   d x  

Aplicando a substituição, temos:

∫ x 5 x 3 + 1   d x = ∫ u ( u 2 - 1 ) . 2 u d u 3

Então:

∫ x 5 x 3 + 1   d x = 2 3 ∫ u ( u 2 - 1 ) u d u = 2 3 ∫ u 2 ( u 2 - 1 ) d u

Dessa forma:

∫ x 5 x 3 + 1   d x = 2 3 ∫ u 4 - u 2 d u

Para integral, vamos aplicar a fórmula que diz que:

∫ u n d u = u n + 1 n + 1 + C

Integrando:

∫ x 5 x 3 + 1   d x = 2 3 u 5 5 - u 3 3 + C

Reorganizando e multiplicando, temos:

∫ x 5 x 3 + 1   d x = 2 u 5 15 - 2 u 3 9 + C

Substituindo u = x 3 + 1 1 / 2 :

∫ x 5 x 3 + 1   d x = 2 x 3 + 1 5 / 2 15 - 2 x 3 + 1 3 / 2 9 + C

Passo 2

Usando um CAS (pode ser até mesmo um programa online como é o caso do Symbolab):

Resposta

∫ x 5 x 3 + 1   d x = 2 x 3 + 1 5 / 2 15 - 2 x 3 + 1 3 / 2 9 + C

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