Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 74
Verifique que é uma função ímpar e use este fato para mostrar que
Passo 1
Opa! O enunciado nos diz que é uma função ímpar e nos pede pra mostrar que:
Uma função ser par significa que ela possui a mesma forma ao ser refletida em torno do eixo , o que significa .
Uma função ser ímpar significa que ela possui forma oposta ao ser refletida em torno do eixo , o que significa .
No nosso caso temos:
Sabemos que isso é verdade por causa da propriedade:
Passo 2
Olhos no prémio, queremos provar que:
Para uma função ímpar temos que:
Podemos escrever a nossa integral usando dois intervalos, dessa forma:
Sabemos que:
Então:
Passo 3
Para sabermos o valor de , o intervalo será o seguinte
Como x é , logo:
Para o seno, temos que levar em consideração o intervalo em que é positivo, então
Portanto, para , temos
E consequentemente,
Resposta
Função ímpar com e .