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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.4 - Ex. 40

Faça a substituição para expressar o integrando como uma função racional e então avalie a integral.

∫ 1 x - x + 2

Passo 1

Faremos então que u = x + 2   →   u 2 - 2 = x   → d x = 2 u d u . Substituindo:

∫ 1 x - x + 2 = ∫ u u 2 - 2 - u 2 d u

2 ∫ u u 2 - 2 - u d u

Pela propriedade de soma e produto descobrimos que:

u u 2 - 2 - u =   u ( u - 2 ) ( u + 1 )

Aplicando frações parciais:

u ( u - 2 ) ( u + 1 ) =   A u - 2 + B u + 1

u ( u - 2 ) ( u + 1 ) =   A u + 1 + B ( u - 2 ) ( u - 2 ) ( u + 1 )

u = A u + 1 + B ( u - 2 )

Considerando u = -1, o termo de A irá zerar e B será:

- 1 = B ( - 1 - 2 )

B =   1 3

Considerando u = 2, o termo de B irá zerar e A será:

2 = A 2 + 1

A =   2 3

Substituindo os valores numéricos dos coeficientes:

u ( u - 2 ) ( u + 1 ) =   2 3 u - 2 + 1 3 u + 1

2 ∫ u u 2 - 2 - u d u =   2 ∫ 2 3 u - 2 + 1 3 u + 1 d u

Pronto! Agora basta resolvermos a integral em u.

Passo 2

Calculando:

2 ∫ 2 3 u - 2 + 1 3 u + 1 d u

A primeira integral pode ser calculada por uma substituição simples:

∫ 2 3 u - 2 d u

Sendo g = u - 2 → d g = d u

2 3 ∫ 1 g d g =   2 3 ln ⁡ g + C

Retornando para u:

∫ 2 3 u - 2 d u = 2 3 ln ⁡ u - 2 + C

A segunda integral também pode ser calculada por uma substituição simples:

∫ 1 3 u + 1 d u

Sendo g = u + 1 → d g = d u

1 3 ∫ 1 g d g =   1 3 ln ⁡ g + C

Retornando para u:

∫ 1 3 u + 1 d u = 1 3 ln ⁡ u + 1 + C

Assim temos que:

2 ∫ 2 3 u - 2 + 1 3 u + 1 d u = 2 2 3 ln ⁡ u - 2 + 1 3 ln ⁡ u + 1 + C

Substituindo o valor de u para x:

∫ 1 x - x + 2 =   2 3 ln ⁡ x + 2   - 2 + 1 3 ln ⁡ x + 2   + 1 + C

Resposta

∫ 1 x - x + 2 =   2 3 ln ⁡ x + 2   - 2 + 1 3 ln ⁡ x + 2   + 1 + C

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