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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 47

Faça uma substituição para expressar o integrando como função racional e então calcule a integral

∫ e 2 x e 2 x + 3 e x + 2 d x

Passo 1

Bom galera, antes de começar vamos fazer algumas manipulações.

Como?

Chamando:

u = e x

Aplicando ln em ambos os lados:

ln ⁡ u = ln ⁡ e x

ln ⁡ u = x

Derivando:

d u u = d x

Na integral:

= ∫ e 2 . ln ⁡ u e 2 . ln ⁡ u + 3 e ln ⁡ u + 2 d u u

Usando as propriedades do ln:

= ∫ e ln ⁡ u ² e ln ⁡ u ² + 3 e ln ⁡ u + 2 d u u

= ∫ u ² u ² + 3 u + 2 d u u

= ∫ u u ² + 3 u + 2 d u

Agora, vamos fatorar o denominador. Para isso vamos usar a seguinte relação:

a ( u - u ' ) ( u - u ' ' )

Para achar as raízes vamos usar Bhaskara:

u ² + 3 u + 2 = 0

u = - 3 ± 3 2 - 4 . 1.2 2 . 1 = - 3 ± 1 2

u ' = - 1       e       u ' ' = - 2

Sendo assim:

u ² + 3 u + 2 = 1 ( u + 1 ) ( u + 2 )

E:

= ∫ u ( u + 1 ) ( u + 2 ) d u

Passo 2

Agora podemos usar as Frações Parciais:

u ( u + 1 ) ( u + 2 ) = A ( u + 1 ) + B ( u + 2 )

Multiplicando cruzado:

= A u + 2 + B ( u + 1 ) ( u + 1 ) ( u + 2 )

Fazemos a distributiva:

= A u + 2 A + B u + B ( u + 1 ) ( u + 2 )

Reorganizando:

= ( A + B ) u + 2 A + B ( u + 1 ) ( u + 2 )

Se é assim, podemos concluir:

2 A + B = 0 → B = - 2 A

A + B = 1 → A - 2 A = 1

- A = 1 → A = - 1

Já sabemos A, agora só precisamos de B:

B = - 2 - 1 = 2

A ( u + 1 ) + B ( u + 2 ) = - 1 ( u + 1 ) + 2 ( u + 2 )

Agora vamos colocar na integral:

= ∫ - 1 u + 1 + 2 u + 2 d u

Passo 3

Agora vamos separar as integrais:

= ∫ - 1 u + 1 d u + ∫ 2 u + 2 d u

Tiramos as constantes:

= - ∫ d u u + 1 + 2 ∫ d u u + 2

Agora ficou fácil!

= - ln ⁡ u + 1 + 2 ln ⁡ | u + 2 |

Reorganizando:

= 2 ln ⁡ | u + 2 | - ln ⁡ u + 1

Usando as propriedades do ln:

= ln ⁡ | u + 2 | ² - ln ⁡ u + 1

= ln ⁡ u + 2 2 u + 1

Substituímos o u:

= ln ⁡ e x + 2 2 e x + 1

Não vamos esquecer da constante:

= ln ⁡ e x + 2 2 e x + 1 + C

Resposta

∫ e 2 x e 2 x + 3 e x + 2 d x = ln ⁡ e x + 2 2 e x + 1 + C

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(d x)/(d t) = k (5 - x) (4 - x) int (d x)/((5 - x) (4 - x)) = int k d t
int (1)/(16 x^4 - 8 x^2 + 1) d x
f (t) = (A)/(1 + B . e^(- A k t))