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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 31

Calcule a integral.

int (1)/(x^3 - 1) d x

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui temos uma integral para resolvermos, e nesse caso iremos utilizar a integração por frações parciais.

Primeira coisa que iremos fazer aqui é reescrever a função de forma a podermos aplicar a frações parciais.

x^3 - 1 = ( x - 1 ) ( x^2 + x + 1 )

Passo 2

Agora escrevendo em frações:

(1)/(x^3 - 1) = (A)/(x - 1) + (B x + C)/(x^2 + x + 1)

Multiplicando ambos os lados por x^3 - 1 :

1 = A (x^2 + x + 1) + ( B x + C ) ( x - 1 )

1 = A x^2 + A x + A + B x^2 - B x + C x - C

1 = (A + B) x^2 + (A - B + C) x + (A - C)

Passo 3

Equacionando os coeficientes de ambos os lados:

0 = A + B

A = - B

0 = A - B + C

1 = A - C

C = A - 1

C = - B - 1

0 = (- B) - B + (- B - 1)

0 = - 3 B - 1

B = - (1)/(3)

A = - ((1)/(3)) = (1)/(3)

C = (1)/(3) - 1 = - (2)/(3)

Agora colocando os valores nas frações:

(1)/(x^3 - 1) = ((1)/(3))/(x - 1) + (- (1)/(3) x - (2)/(3))/(x^2 + x + 1) = (1)/(3 ( x - 1 )) - (1)/(3) * (x + 2)/(x^2 + x + 1)

Passo 4

Calculando a primeira integral:

int (1)/(3 (x - 1)) d x = (1)/(3) ln |x - 1| + C

A segunda iremos separar em duas:

int - (1)/(3) * (x + 2)/(x^2 + x + 1) d x = - (1)/(3) int (x + (1)/(2))/(x^2 + x + 1) + ((3)/(2))/(x^2 + x + 1) d x

= - (1)/(3) int (x + (1)/(2))/(x^2 + x + 1) d x - (1)/(2) int (1)/(x^2 + x + 1) d x

= - (1)/(3) * (1)/(2) int (d u)/(u) - (1)/(2) int (1)/(x^2 + x + 1) d x

= - (1)/(6) ln |u| - (1)/(2) int (1)/(x^2 + x + 1) d x

= - (1)/(6) ln |x^2 + x + 1| - (1)/(2) int (1)/(x^2 + x + 1) d x

Fração 2, podemos completar o quadrado para obter uma integral de arco tangente.

Passo 5

- (1)/(2) int (1)/(x^2 + x + 1) d x = - (1)/(2) int (1)/((x^2 + x + ((1)/(2))^2) - ((1)/(2))^2 + 1) d x

= - (1)/(2) int (1)/((x + (1)/(2))^2 + (3)/(4)) d x

usando a fórmula int (d)/(u^2 + a^2) = (1)/(a) arctan (u)/(a) + C

u = x + (1)/(2)

d u = d x

a^2 = (3)/(4)

a = (sqrt(3))/(4)

- (1)/(2) int (1)/((x + (1)/(2))^2 + (3)/(4)) d x = - (1)/(2) int (1)/(u^2 + a^2) d u

= - (1)/(2) * (1)/(a) arctan (u)/(a) + C

= - (1)/(2) * (1)/((sqrt(3))/(2)) arctan (x + (1)/(2))/((sqrt(3))/(2))

= - (1)/(sqrt(3)) arctan (2 x + 1)/(sqrt(3)) + C

Somando tudooo:

(1)/(3) ln |x - 1| - (1)/(6) ln (x^2 + x + 1) - (1)/(sqrt(3)) tan^(- 1) ((1)/(sqrt(3)) ( 2 x + 1 )) + C

Resposta

(1)/(3) ln |x - 1| - (1)/(6) ln (x^2 + x + 1) - (1)/(sqrt(3)) tan^(- 1) ((1)/(sqrt(3)) ( 2 x + 1 )) + K .

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