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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 31

  1. Faça a substituição u indicada e, então, use a Tabela de Integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, prove que o resultado é equivalente ao encontro em (a).

∫ 4 x 5 2 - 4 x 4 d x             ,     u = 2 x 2

Passo 1

Para resolver esse exercício, fazermos as substituições com:

    u = 2 x 2

u = 4 x   d x

Então, podemos dizer que:

∫ 4 x 5 2 - 4 x 4 d x = ∫ u 2 2 - u 2 d u 4

Retirando a constante de dentro da integral:

∫ 4 x 5 2 - 4 x 4 d x = 1 4 ∫ u 2 2 - u 2

Resolveremos a integral aplicando na seguinte fórmula:

∫ u 2 a 2 - u 2 d u = - u 2 a 2 - u 2 + a 2 2 arc sen a 2   ⁡ + C

Se a 2 = 2 :

∫ 4 x 5 2 - 4 x 2 d x = 1 4 - u 2 2 - u 2 + 2 2 arc sen 2 x 2 2   ⁡ + C

Substituindo u = 2 x 2 :

∫ 4 x 5 2 - 4 x 2 d x = - 2 x 2 8 2 - ( 2 x 2 ) 2 + 1 4 arc sen 2 x 2 2   ⁡ + C

Simplificando:

∫ 4 x 5 2 - 4 x 2 d x = - 1 4 x 2 2 - 4 x 4 + 1 4 arc sen 2   x 2   ⁡ + C

Resposta

∫ 4 x 5 2 - 4 x 2 d x = - 1 4 x 2 2 - 4 x 4 + 1 4 arc sen 2   x 2   ⁡ + C

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