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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 2m

2.Calcule:

int_0^((pi)/(4)) c o s^2 2 x d x

Passo 1

Uma questão que vai requerer substituições, vamos com calma e seguindo os passo, no final vai dar tudo certo! Vamos lá

u = 2 x

Lembrando que a nossa intenção é colocar todos os termos da integral como uma função de u , teremos que fazer isso até com o d x . E como faremos isso??? Calma, usaremos a derivada em ambos os lados, lembra né? Vamos lá:

(u)^' = (2 x) '

d u = 2 d x

Vamos isolar o d x , para facilitar a visualização e a substituição:

(d u)/(2) = d x

Passo 2

Agora que temos tudo em função de u , vamos substituir de forma simples, anotando aquilo que já obtemos nas operações anteriores, passo importante para não nos perdermos:

u = 2 x

(d u)/(2) = d x

Fazendo a alteração de variáveis, temos:

int c o s^2 2 x d x = int cos^2 u (d u)/(2) = (1)/(2) int c o s^2 u d u

E agora temos um outro problema, pois é muito provável que na sua lista de integrais não tenha essa integral ( int c o s^2 u d u ) ou mesmo que você não saiba de cabeça. Então vamos focar nessa integral agora:

Lembrando do nosso ensino médio, olha ele aí novamente, temos a fórmula:

2 cos^2 u - 1 = cos 2 u

Isolando o cos^2 u :

cos^2 u = cos 2 u + 1

Passo 3

Substituindo a expressão acima, na integral, teremos:

int c o s^2 u d u = int ( [[c o s ( 2 u ) + 1 ) d u = int c o s ( 2 u ) d u + int d u]]

Lembrando que int c o s ( 2 u ) d u = (1)/(2) sin 2 u e int d u = u

Não perca o foco, vamos lá:

(1)/(2) int c o s^2 u d u = (1)/(2) ( (1)/(2) sin 2 u + u ) = (1)/(4) sin 2 u + (1)/(2) u + c

Ufaaa, fizemos a integral, agora é só substituir, não esqueça que chamamos o u de 2 x ( u = 2 x )

int c o s^2 2 x d x = (1)/(4) sin 4 x + (1)/(2) x + c

Calculada a primitiva, faremos o valor numérico para os limites de integração, toma uma golada de café, já está acabando!!!

int_0^((pi)/(4)) c o s^2 2 x d x = (1)/(4) sin ( 4 (pi)/(4) ) + (1)/(2) (pi)/(4) - (1)/(4) sin ( 4.0 ) - (1)/(2) 0 = (1)/(4) s i n pi + (pi)/(8) - (1)/(4) sin 0

Lembrando que o s i n pi = 0 e sin 0 , obtemos a resposta, pode comemorar que acabou de verdade,

int_0^((pi)/(4)) c o s^2 2 x d x = (pi)/(8)

Resposta

int_0^((pi)/(4)) c o s^2 2 x d x = (pi)/(8)

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