2.Calcule:

∫ 0 π 4 c o s 2 2 x d x

Passo 1

Uma questão que vai requerer substituições, vamos com calma e seguindo os passo, no final vai dar tudo certo! Vamos lá

u = 2 x

Lembrando que a nossa intenção é colocar todos os termos da integral como uma função de u , teremos que fazer isso até com o d x . E como faremos isso??? Calma, usaremos a derivada em ambos os lados, lembra né? Vamos lá:

u ' = 2 x '

d u = 2 d x

Vamos isolar o d x , para facilitar a visualização e a substituição:

d u 2 = d x

Passo 2

Agora que temos tudo em função de   u , vamos substituir de forma simples, anotando aquilo que já obtemos nas operações anteriores, passo importante para não nos perdermos:

u = 2 x

d u 2 = d x

Fazendo a alteração de variáveis, temos:

∫ c o s 2 2 x d x = ∫ cos 2 ⁡ u d u 2 = 1 2 ∫ c o s 2 u   d u

E agora temos um outro problema, pois é muito provável que na sua lista de integrais não tenha essa integral ( ∫ c o s 2 u   d u ) ou mesmo que você não saiba de cabeça. Então vamos focar nessa integral agora:

Lembrando do nosso ensino médio, olha ele aí novamente, temos a fórmula:

2 cos 2 ⁡ u - 1 = cos ⁡ 2 u

Isolando o cos 2 ⁡ u :

cos 2 ⁡ u = cos ⁡ 2 u + 1

Passo 3

Substituindo a expressão acima, na integral, teremos:

∫ c o s 2 u   d u = ∫ ( c o s ( 2 u ) + 1 ) d u = ∫ c o s ( 2 u ) d u + ∫ d u

Lembrando que ∫ c o s ( 2 u ) d u = 1 2 sin ⁡ 2 u e ∫ d u = u

Não perca o foco, vamos lá:

1 2 ∫ c o s 2 u   d u = 1 2 ( 1 2 sin ⁡ 2 u + u ) = 1 4 sin ⁡ 2 u + 1 2 u + c

Ufaaa, fizemos a integral, agora é só substituir, não esqueça que chamamos o u de 2 x ( u = 2 x )

∫ c o s 2 2 x d x = 1 4 sin ⁡ 4 x + 1 2 x + c

Calculada a primitiva, faremos o valor numérico para os limites de integração, toma uma golada de café, já está acabando!!!

∫ 0 π 4 c o s 2 2 x d x = 1 4 sin ⁡ ( 4 π 4 ) + 1 2 π 4 - 1 4 sin ⁡ ( 4.0 ) - 1 2 0   = 1 4 s i n π + π 8 - 1 4 sin ⁡ 0

Lembrando que o s i n π = 0 e   sin ⁡ 0 , obtemos a resposta, pode comemorar que acabou de verdade,

∫ 0 π 4 c o s 2 2 x d x = π 8

Resposta

∫ 0 π 4 c o s 2 2 x d x = π 8

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