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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 1.2 - Ex. 19f

Fatore o polinômio dado.

f ) x^3 - 1

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? O enunciado é bem direto e pede para a gente fatorar o polinômio

x^3 - 1

Para fatorar precisamos primeiro determinar os candidatos a raízes inteiras.

Os candidatos são os divisores do termo independente (aquele que não está multiplicado por x no polinômio).

No nosso caso o termo independente é - 1 , então os candidatos serão: + 1 , - 1 .

Então vamos checar qual deles é raíz!

Passo 2

Para saber se um número é raíz de um polinômio, temos que substitui-lo na expressão e ver se é igual a zero.

Substituindo os nosso candidatos na expressão

P (x) = x^3 - 1

  • Para x = 1 : (1)^3 - 1 = 0 , então x = 1 é raíz!
  • Para x = - 1 : (- 1)^3 - 1 != 0 , então x = - 1 não é raíz!

Certo! Temos uma raíz conhecida: + 1 . Mas nosso polinômio é de ordem 3 , portanto ele admite três raízes!

Passo 3

Então para saber as outras, precisamos ir dividindo o polinômio e assim baixando a ordem. Vamos aplicar o dispositivo prático de Briot-Ruffini.

Calcular para a raíz que encontramos x = 1 , logo o divisor é ( x - 1 )

Por essa divisão temos que,

(x^3 - 1) = (x^2 + x + 1) (x - 1)

Como o polinômio x^2 + x + 1 tem Delta < 0 , ele não pode ser fatorado em raízes reais, então a fatoração de x^3 - 1 fica:

x^3 - 1 = (x - 1) ( x^2 + x + 1 )

Certo?

Vamos pra próxima?

Resposta

x^3 - 1 = (x - 1) ( x^2 + x + 1 )

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Suponha que P x = a 0 x n + a 1 x n - 1 + … + a n - 1 x + a n seja um polinômio de grau n , com coeficientes inteiros, isto é, a 0 ≠ 0 ,a 1 , a 2 , … ,a n são números inteiros. Seja α um número inteir
Fatore o polinômio dado.c ) x^3 + 2 x^2 - 3 x
Fatore o polinômio dado.e ) x^3 + 6 x^2 + 11 x + 6
Fatore o polinômio dado.a ) x^3 + 2 x^2 - x - 2
Seja P ( x ) um polinômio de grau n . Prove: αér a i zd eP x ⇔ P xéd i v i s í v e lp o rx - α . é é í Sugestão: Dividindo-se P ( x ) por x - α , obtém-se um quociente Q ( x ) e um resto R , R constan