Suponha que P x = a 0 x n + a 1 x n - 1 + … + a n - 1 x + a n seja um polinômio de grau n , com coeficientes inteiros, isto é, a 0 ≠ 0 ,a 1 , a 2 , … ,a n são números inteiros. Seja α um número inteiro. Prove que se α for raiz de P ( x ) , então α será um divisor do termo independente a n .

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 1.2 - Ex. 16

Suponha que seja um polinômio de grau , com coeficientes inteiros, isto é, são números inteiros. Seja um número inteiro. Prove que se for raiz de , então será um divisor do termo independente .

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Essa questão parece difícil, mas vou facilitar pra vocês, ok?

Se um valor é raiz de um polinômio qualquer, isso significa que se substituirmos no lugar de ele resultará em zero. Ou seja:

Certo?

Passo 2

Vou aplicar esse resultado no polinômio genérico dado no problema, saca só:

E agora passar o termo independente para o outro lado da igualdade:

E por fim, dividir dos dois lados por (lembrando que ) :

E simplificando os termos:

Beleza até aqui?

Passo 3

Agora vamos pensar um poquinho: sabemos que os coeficientes são todos números inteiros. Então podemos concluir que o primeiro membro dessa igualdade é um número inteiro. E por igualdade, teremos que também será um inteiro.

Mas o que isso significa? Ah! Aí que tá! Se a dividão de dois números resultar em um número inteiro, quer dizer que o denominador é divisor do numerador! Assim concluímos que é divisor de .

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Simplifique.(4 x^2 - 9)/(2 x + 3)

Simplifique.(x^4 - p^4)/(x - p)

Fatore o polinômio dado.b ) x^4 - 3 x^3 + x^2 + 3 x - 2

Fatore o polinômio dado.f ) x^3 - 1

Use os gráficos para determinar qual das funções f x = x 4 - 100 x 3 e g x = x 3 é, eventualmente, maior.