Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 1.2 - Ex. 16
Suponha que seja um polinômio de grau , com coeficientes inteiros, isto é, são números inteiros. Seja um número inteiro. Prove que se for raiz de , então será um divisor do termo independente .
Passo 1
Olá pessoal, tudo bem? Essa questão parece difícil, mas vou facilitar pra vocês, ok?
Se um valor é raiz de um polinômio qualquer, isso significa que se substituirmos no lugar de ele resultará em zero. Ou seja:
Certo?
Passo 2
Vou aplicar esse resultado no polinômio genérico dado no problema, saca só:
E agora passar o termo independente para o outro lado da igualdade:
E por fim, dividir dos dois lados por (lembrando que ) :
E simplificando os termos:
Beleza até aqui?
Passo 3
Agora vamos pensar um poquinho: sabemos que os coeficientes são todos números inteiros. Então podemos concluir que o primeiro membro dessa igualdade é um número inteiro. E por igualdade, teremos que também será um inteiro.
Mas o que isso significa? Ah! Aí que tá! Se a dividão de dois números resultar em um número inteiro, quer dizer que o denominador é divisor do numerador! Assim concluímos que é divisor de .