Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 24
Fazer um esboço do gráfico de , determinando:
. Os extremos relativos de ;
. Os pontos de inflexão do gráfico de ;
. Os intervalos onde é crescente e aqueles nos quais é decrescente;
. Onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo;
Da função
Passo 1
Legal gente, sem pânico! Temos milhões de coisas pra calcularmos, então vamos ser organizados e dividir tudo em pequenos passos de cada vez. A primeira coisa que a questão nos pede, é que determinemos os extremos relativos de f. Para isso, temos que:
- Fazer a primeira derivada e igualar a 0 para achar um c
- Fazer a segunda derivada e realizar um teste para determinamos se é um extremo ou mínimo relativo.
Então, nossa função é dada por:
Derivando e igualando a 0, temos que:
Resolvendo essa equação, temos que as raízes são:
Então temos 2 C’s. Vamo aos testes! A segunda derivada da função é igual a:
Aplicando as raízes, temos que:
-p/ :
Para esse caso, pode-se afirmar que no ponto 3, é um mínimo relativo.
-p/
Para esse caso, pode-se afirmar que no ponto -3, é um máximo relativo.
Passo 2
Ufa, primeira parte já foi! Para a segunda parte, precisamos definir o nosso ponto de inflexão. Resumindo, vamos derivar 3 vezes e achar esses pontos? PREPARADOS? SIMBORA!
Neste ponto, igualamos a 0 e temos nossos primeiros candidatos a pontos de inflexão.
Não temos raízes reais, logo, não temos pontos de inflexão.
Passo 3
E vamos seguindo o rumo galera! Para determinamos a região aonde a nossa curva cresce e decresce, é bem simples. Derivamos uma vez, achamos os 0 e comparamos os intervalos dos 0. Como assim? Vamos lá.
Para a nossa função, temos que a primeira derivada é igual a
As raízes dessa equação correspondem a “3” e “-3”.
Então, vamos analisar essa função em 3 momentos distintos:
Para
Para esse caso, nossa função fica positiva, indicando então CRESCIMENTO
Para
Para esse caso, nossa função fica negativa, indicando então DECRESCIMENTO
Para
Para esse caso, nossa função fica positiva, indicando então CRESCIMENTO
Passo 4
Já que nossas assíntotas estão sempre tendendo ao 0 (seja pela direita ou pela esquerda) vamos analisar as duas curvas isoladamente. A curva antes de 0 é côncava e a depois de 0 é convexa
Resposta
Máximo relativo em
Mínimo relativo em
Não existe ponto de inflexão
Para
Para esse caso, nossa função fica positiva, indicando então CRESCIMENTO
Para
Para esse caso, nossa função fica negativa, indicando então DECRESCIMENTO
Para
Para esse caso, nossa função fica positiva, indicando então CRESCIMENTO
A curva antes de 0 é côncava e a depois de 0 é convexa