Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.5 - Ex. 10

Esboce o gráfico.

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bom? Antes de começar a esboçar qualquer gráfico é importante a gente saber qual o domínio dele.

Repara que é uma raiz é cúbica e não quadrada, ou seja, não tem problema seu interior ser negativo, logo

Como não existe um ponto que dê problema na função, não vamos ter candidatos a assíntotas verticais.

Então agora vamos verificar se há assíntotas horizontais calculando os limites e depois derivar para avaliar as concavidades!

Passo 2

Pras horizontais no entanto, analisamos o resultado dos limites:

Colocando em evidência,

Agora vamos escrever o limite como um produto

Repara que o segundo limite vai ser igual a

Por fim:

Belê, sem assíntotas horizontais também já que esses limites deram infinitos

Passo 3

Vamos usar a regra da cadeia! Então temos que,

Lembrando que a derivada do polinômio e da função constante são:

Vamos então aplicar:

E logo:

Agora vamos analisar os sinais!

Passo 4

Os intervalos de crescimento e decrescimento são os intervalos em que, respectivamente, a primeira derivada é positiva e negativa. Veja que o denominador vai ser sempre positivo por causa do termo ao quadrado, então vamos analisar o numerador:

Analisando intervalos que contenham essas raízes e que contenham e também já que a primeira derivada não está definida nesse ponto, temos:

A setinha para cima indica que a função cresce e para baixo que ela descreve naquele intervalo

Passo 5

Vamos achar os pontos de inflexão e como se comporta a concavidade através de usando mais uma regra, a da divisão:

Seja

Vamos ter:

E também:

Aplicando:

Dividindo em cima e em baixo por

Note que:

Sempre, ou seja, quem dita o sinal da segunda derivada é o denominador. Como o denominador é bem parecido com o denominador da primeira derivada, podemos analisar o sinal da segunda derivada nos mesmos pontos da outra vez: , e . Bora: