Esboce o gráfico.

f(x) = raiz_cubica(x^3 - x)

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bom? Antes de começar a esboçar qualquer gráfico é importante a gente saber qual o domínio dele.

Repara que é uma raiz é cúbica e não quadrada, ou seja, não tem problema seu interior ser negativo, logo

D f = R

Como não existe um ponto que dê problema na função, não vamos ter candidatos a assíntotas verticais.

Então agora vamos verificar se há assíntotas horizontais calculando os limites e depois derivar para avaliar as concavidades!

Passo 2

Pras horizontais no entanto, analisamos o resultado dos limites:

lim x → ± ∞ ⁡ x 3 - x 3 = lim x → ± ∞ ⁡ x 3 - x 1 3

Colocando x 3 em evidência,

= lim x → ± ∞ ⁡ x 3 ∙ 1 - 1 x 2 1 3 = lim x → ± ∞ ⁡ x ∙ 1 - 1 x 2 1 3

Agora vamos escrever o limite como um produto

= lim x → ± ∞ ⁡ x ∙ lim x → ± ∞ ⁡ 1 - 1 x 2 1 3

Repara que o segundo limite vai ser igual a 1

= lim x → ± ∞ ⁡ x ∙ lim x → ± ∞ ⁡ 1 - 1 ∞ 1 3 = lim x → ± ∞ ⁡ x ∙ 1

Por fim:

lim x → ± ∞ ⁡ x 3 - x 3 = lim x → ± ∞ ⁡ x = + ∞ ,     s e   x → + ∞ - ∞ ,     s e   x →   - ∞

Belê, sem assíntotas horizontais também já que esses limites deram infinitos

Passo 3

Vamos usar a regra da cadeia! Então temos que,

y ' = x 3 - x 3 ' = x 3 - x 1 3 ' = x 3 - x 1 3 ' x 3 - x '

Lembrando que a derivada do polinômio e da função constante são:

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

Vamos então aplicar:

y ' = 1 3 x 3 - x 2 3 3 x 2 - 1

E logo:

y ' = 3 x 2 - 1 3 x 3 - x 2 3

Agora vamos analisar os sinais!

Passo 4

Os intervalos de crescimento e decrescimento são os intervalos em que, respectivamente, a primeira derivada é positiva e negativa. Veja que o denominador 3 x 3 - x 2 3 vai ser sempre positivo por causa do termo ao quadrado, então vamos analisar o numerador:

3 x 2 - 1 = 0

3 x 2 = 1

x 2 = 1 3

x = ± 1 3

x = ± 3 3

Analisando intervalos que contenham essas raízes e que contenham x = 0 e x = ± 1 também já que a primeira derivada não está definida nesse ponto, temos:

A setinha para cima indica que a função cresce e para baixo que ela descreve naquele intervalo

Passo 5

Vamos achar os pontos de inflexão e como se comporta a concavidade através de y ' ' usando mais uma regra, a da divisão:

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Seja

y ' = 3 x 2 - 1 3 x 3 - x 2 3 = f x g x

Vamos ter:

f x = 3 x 2 - 1

f ' x = 6 x

E também:

g x = 3 x 3 - x 2 3

g ' x = 2 x 3 - x - 1 3 3 x 2 - 1

Aplicando:

y ' ' = y ' ' = 6 x 3 x 3 - x 2 3 - 3 x 2 - 1 2 x 3 - x - 1 3 3 x 2 - 1 3 x 3 - x 2 3 2

y ' ' = y ' ' = 18 x ∙ x 3 - x 2 3 - 2 ∙ x 3 - x - 1 3 ∙ 3 x 2 - 1 2 9 x 3 - x 4 3

Dividindo em cima e em baixo por x 3 - x - 1 3

y ' ' = y ' ' = 18 x ∙ x 3 - x 3 3 - 2 ∙ 3 x 2 - 1 2 9 x 3 - x 5 3

y ' ' = 18 x ∙ x 3 - x - 2 ∙ 3 x 2 - 1 2 9 x 3 - x 5 3

y ' ' = 18 x 4 - 18 x 2 - 2 ∙ 9 x 4 - 6 x 2 + 1 9 x 3 - x 5 3

y ' ' = 18 x 4 - 18 x 2 - 18 x 4 + 12 x 2 - 2 9 x 3 - x 5 3

y ' ' = - 18 x 2 + 12 x 2 - 2 9 x 3 - x 5 3

y ' ' = - 6 x ²   - 2 9 x 3 - x 5 3

Note que:

- 6 x 2 - 2 < 0

Sempre, ou seja, quem dita o sinal da segunda derivada é o denominador. Como o denominador é bem parecido com o denominador da primeira derivada, podemos analisar o sinal da segunda derivada nos mesmos pontos da outra vez: x = 0 , x = 1 e x = - 1 . Bora:

OBS: Como o numerador é sempre negativo, não vão existir pontos de inflexão pois nenhum ponto faz a segunda derivada zerar.

Passo 6

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

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