Esboce o gráfico.

f(x) = x^2 / (x^2 - x - 2)

Passo 1

Se x estiver no domínio da função, então:

x 2 - x - 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ - 1       e       x ≠ 2

Vamos derivar para achar os intervalos de crescimento e decrescimento:

f ' x = 2 x x 2 - x - 2 - x 2 2 x - 1 x 2 - x - 2 2 = - x 2 - 4 x x 2 - x - 2 2 = - x x + 4 x 2 - x - 2 2

Sendo assim, teremos crescimento quando f ' ( x ) > 0 , ou seja:

- 4 < x < 0

E decrescimento quando:

x < - 4 ou x > 0

Desse modo, x = - 4 corresponderá a um ponto de mínimo local e x = 0 a um ponto de máximo local.

Passo 2

Para estudar a concavidade, vamos derivar novamente:

f ' ' x = 2 x 3 + 6 x 2 + 4 x 2 - x - 2 3

Sendo assim, teremos concavidade para cima quando f ' ' x > 0 , ou seja:

- 6,1 < x < - 1 ou x > 2

E concavidade para baixo quando:

x < - 6,1 ou - 1 < x < 2

Desse modo, x ≈ - 6,1 é ponto de inflexão.

Passo 3

Agora vamos buscar assíntotas horizontais, calculando os seguintes limites:

lim x → ± ∞ ⁡ f x = lim x → ± ∞ ⁡ x 2 x 2 - x - 2 = 1

Ou seja, nos dois extremos do domínio teremos retas assíntotas horizontais y = 1 .

Como x = - 1 e x = 2 não pertencem ao domínio da função, vamos calcular os seguintes limites laterais, a fim de achar assíntotas verticais:

lim x → - 1 + ⁡ f x = lim x → - 1 + ⁡ x 2 x 2 - x - 2 = - ∞

lim x → - 1 - ⁡ f x = lim x → - 1 - ⁡ x 2 x 2 - x - 2 = + ∞

lim x → 2 + ⁡ f x = lim x → 2 + ⁡ x 2 x 2 - x - 2 = + ∞

lim x → 2 - ⁡ f x = lim x → 2 - ⁡ x 2 x 2 - x - 2 = - ∞

Desse modo, temos assíntotas verticais x = - 1 e x = 2 .

Passo 4

Agora sim já temos um bocado de informação sobre o gráfico da função. Bora fazer o esboço?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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