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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.5 - Ex. 17

Esboce o gráfico.

y = (x - 1)/(x^2)

Passo 1

Note que o domínio dessa função é todo x real, tal que x != 0 .

Vamos derivar para achar os intervalos de crescimento e decrescimento:

y^' = (x^2 - (x - 1) 2 x)/(x^4) = (- x^2 + 2 x)/(x^4) = (2 - x)/(x^3)

Sendo assim, teremos crescimento quando y^' > 0 , ou seja:

0 < x < 2

E decrescimento quando:

x < 0 ou x > 2

Desse modo, x = 2 corresponderá a um ponto de máximo local.

Passo 2

Para estudar a concavidade, vamos derivar novamente:

y^(' ') = (- x^3 - (2 - x) 3 x^2)/(x^6) = (2 x^3 - 6 x^2)/(x^6) = (2 (x - 3))/(x^4)

Sendo assim, teremos concavidade para cima quando y^(' ') > 0 , ou seja:

x > 3

E concavidade para baixo quando:

x < 3

Desse modo, x = 3 corresponderá a um ponto de inflexão.

Passo 3

Agora vamos buscar assíntotas horizontais, calculando os seguintes limites:

underset(x -> +- oo)(lim) y = underset(x -> +- oo)(lim) (x - 1)/(x^2) = underset(x -> +- oo)(lim) (1)/(x) - (1)/(x^2) = 0

Ou seja, nos dois extremos do domínio teremos retas assíntotas horizontais y = 0 .

Como x = 0 não pertence ao domínio da função, vamos calcular os seguintes limites laterais, a fim de achar assíntotas verticais:

underset(x -> 0^+)(lim) y = underset(x -> 0^+)(lim) (x - 1)/(x^2) = - oo

underset(x -> 0^-)(lim) y = underset(x -> 0^-)(lim) (x - 1)/(x^2) = - oo

Desse modo, x = 0 é uma assíntota vertical.

Passo 4

Por último, vamos calcular as raízes da função:

(x - 1)/(x^2) = 0 => x = 1

Agora já temos um bocado de informação sobre o gráfico da função. Bora fazer o esboço?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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