Esboce o gráfico.

y = raiz(x^2 + 2x + 5)

Passo 1

Note que o domínio dessa função é toda a reta real, pois:

x 2 + 2 x + 5 > 0       ∀ x

Vamos derivar para achar os intervalos de crescimento e decrescimento:

y ' = 2 x + 2 2 x 2 + 2 x + 5 = x + 1 x 2 + 2 x + 5

Como a raiz quadrada é sempre positiva, teremos crescimento quando:

x + 1 > 0 ⇒ x > - 1

E decrescimento quando:

x + 1 < 0 ⇒ x < - 1

Assim, x = 1 corresponderá a um ponto de mínimo local.

Passo 2

Para estudar a concavidade, vamos derivar novamente:

y ' ' = x 2 + 2 x + 5 - x + 1 x + 1 x 2 + 2 x + 5 x 2 + 2 x + 5 = x 2 + 2 x + 5 - x + 1 2 x 2 + 2 x + 5 x 2 + 2 x + 5 = 4 x 2 + 2 x + 5 3 2

Logo,

y ' ' > 0       ∀ x

Ou seja, a concavidade do gráfico é sempre para cima.

Passo 3

Repare que quando x → ± ∞ , temos y → + ∞ . Então, aparentemente, não há assíntotas. Porém, veja que:

lim x → ± ∞ ⁡ y x = lim x → ± ∞ ⁡ x 2 + 2 x + 5 x = lim x → ± ∞ ⁡ ± 1 + 2 x + 5 x 2 = ± 1

Ou seja, teremos as seguintes retas assíntotas oblíquas:

y x = ± 1

Passo 4

Agora já temos um bocado de informação sobre o gráfico da função. Bora fazer o esboço?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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