Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 92

Na figura existem infinitos círculos se aproximando dos vértices de um triângulo equilátero. Cada círculo toca outros círculos e lados do triângulo. Se o triângulo tiver lados de comprimento , calcule a área total ocupada pelos círculos.

Passo 1

Galera, aqui o comando é simples, queremos a área total ocupada pelos círculos.

Podemos escrever a área total, que é a soma da área do círculo central mais vezes a soma da série de áreas dos círculos que se aproximam cada vez mais de cada vértice do triângulo:

Então vamos fazer uma figura de apenas dessa esquema, com comprimentos e ângulos, pra gente relacionar essas grandezas.

Vamos relacionar esses

Passo 2

Repare que teremos , de forma que:

Com o triângulo menor, por causa da semelhança com o triângulo , obtemos:

Veja que temos o seguinte, olhando para o segmento :

Em geral, teremos:

Passo 3

Substituindo na equação da área:

Isso é uma série geométrica e sua soma é:

Portanto:

Finalmente:

Passo 4

Show! Para termos um valor numérico da área, vamos lembrar lá da Geometria Plana qual é o raio do círculo inscrito no triângulo equilátero:

No nosso caso, , então:

Ou seja,

Resposta

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