Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.6 - Ex. 32
Use qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.
32.
Passo 1
Como temos um como potência de tudo, isso indica que o melhor teste é o teste da raiz:
Se , a série é divergente, , a série é absolutamente convergente, mas se , o teste não diz nada para a gente.
Aplicando na nossa série fica:
Passo 2
Colocando o módulo para dentro, ficamos com:
Como a série começa em , o termo começa em zero e depois vai ficando cada vez mais negativo já que , então significa que ao tirarmos o módulo, esses valores irão inverter o sinal, ficando tudo positivo, isso é o mesmo que escrevermos:
Então:
Cortando a raiz com a potência:
Passo 3
Se aplicarmos o limite agora, teremos uma indeterminação, vamos então colocar o em evidencia no numerador e no denominador:
Simplificando:
Passo 4
Agora sim podemos aplicar o limite, os termos que têm no denominador tenderão para zero, sobrando só:
Só que , então a série é absolutamente convergente