Use qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.

32. ∑ n = 1 ∞ 1 - n 2 + 3 n n

Passo 1

Como temos um n como potência de tudo, isso indica que o melhor teste é o teste da raiz:

lim n → ∞ ⁡ a n n = L

Se L > 1 , a série é divergente, s e   L < 1 , a série é absolutamente convergente, mas se L = 1 , o teste não diz nada para a gente.

Aplicando na nossa série fica:

L = lim n → ∞ ⁡ 1 - n 2 + 3 n n n

Passo 2

Colocando o módulo para dentro, ficamos com:

L = lim n → ∞ ⁡ 1 - n 2 + 3 n n n

Como a série começa em n = 1 , o termo 1 - n começa em zero e depois vai ficando cada vez mais negativo já que n → ∞ , então significa que ao tirarmos o módulo, esses valores irão inverter o sinal, ficando tudo positivo, isso é o mesmo que escrevermos:

1 - n = n - 1

Então:

L = lim n → ∞ ⁡ n - 1 2 + 3 n n n

Cortando a raiz com a potência:

L = l i m n → ∞ n - 1 2 + 3 n

Passo 3

Se aplicarmos o limite agora, teremos uma indeterminação, vamos então colocar o n em evidencia no numerador e no denominador:

L = l i m n → ∞ n 1 - 1 n n 2 n + 3

Simplificando:

L = l i m n → ∞ 1 - 1 n 2 n + 3

Passo 4

Agora sim podemos aplicar o limite, os termos que têm n no denominador tenderão para zero, sobrando só:

L = 1 3

Só que L < 1 , então a série é absolutamente convergente

Resposta

A b s o l u t a m e n t e   c o n v e r g e n t e

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