A figura mostra a superfície criada quando o cilindro y 2 + z 2 = 1 intercepta o cilindro x 2 + z 2 = 1 . Encontre a área desta superfície.

Passo 1

Note que os cilindros y 2 + z 2 = 1 e x 2 + z 2 = 1 se interceptam ao longo dos planos x = y e x = - y . Então podemos tentar encontrar, por meio de uma integral, a área da superfície do cilindro x 2 + z 2 = 1 acima do plano x y , limitada pelos planos x = ± y no primeiro quadrante, e isso representaria 1 8 da área total que queremos encontrar.

Passo 2

Para calcular a área de acordo com o descrito no passo anterior, podemos usar a seguinte fórmula:

A S = 8 ∫ ∫ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A

onde z = 1 - x 2 e D é a região triangular mostrada na seguinte figura:

Então,

A S = 8 ∫ 0 1 ∫ - x x 1 + - x 1 - x 2 2 + 0 2   d y   d x

Passo 3

Show! Agora é só resolver a integral:

A S = 8 ∫ 0 1 ∫ - x x 1 - x 2 + x 2 1 - x 2   d y   d x = 8 ∫ 0 1 ∫ - x x 1 1 - x 2   d y   d x = 8 ∫ 0 1 1 1 - x 2 y - x x   d x = 8 ∫ 0 1 2 x 1 - x 2   d x = 16 - 1 - x 2 0 1 = 16 0 + 1 = 16

Resposta

A S = 16

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

5 . Calcule a área da parte da superfície esférica x 2+y 2+z 2=1 que seencontra dentro do cone z ≥ x 2 + y ² ²
6 . Calcule a área da superfície z = raiz(x² + y²), (x - 2)² + 4y² ≤ 1 ²
12 . Calcule a área da parte da superfície z = x * y que se encontra dentro docilindro x^2 + y^2 ≤ 4 e fora do cilindro x^2 + y^2 ≤ 1
2 . Seja A = { 0, y, z ∈ R^3 ; z^2 + (y - 2)^2 = 1 } ache a área da superfíciegerada pela rotação em torno do eixo Oz do conjunto A.
7 . Calcule a área da superfície esférica x 2+y 2+z 2=2 que seencontra dentro do paraboloide z=x 2+y 2