(a) Determine o valor máximo de

dado que são números positivos e , onde é uma constante.

(b) Deduza da parte (a) que, se são números positivos, então

Essa desigualdade diz que a média geométrica de números não pode ser maior que a média aritmética deles. Sob que circunstâncias as duas médias são iguais?

(a) Galera, queremos maximizar a função

restrita a

Então, para usar multiplicadores de Lagrange, devemos ter:

O gradiente é dado calculando a derivada parcial de cada coordenada, então no nosso caso, teremos:

Assim, derivando em relação a e considerando todas as outras variáveis como constantes:

Esse processo se repete de forma semelhante para as outras derivadas.

Agora para a restrição, a gente tem:

E assim por diante, então teremos nossa igualdade como:

Então ficamos com equações:

Se igualarmos as primeiras equações, obtemos:

Note que , pois caso contrário, não poderíamos ter para todo . Então devemos ter:

Usando esse resultado na equação , temos:

Então o único valor extremo, e portanto, o valor máximo que procuramos, é:

(Não há valor mínimo porque podemos aproximar o valor de o quanto quisermos de com valores pequenos de , mas nunca chegará a pois temos para todo , e portanto sempre teremos .)

(b) No item anterior descobrimos que é o valor máximo de , então temos:

Mas e , ou seja, se substituirmos nessa desigualdade:

Também do item anterior sabemos que a igualdade ocorre quando

Então é isso, ocorre quando todos os valores são iguais a .