Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.3 - Ex. 5
5 . Calcule a área da parte da superfície esférica que seencontra dentro do cone
Passo 1
Pode ate parecer confuso quando temos 2 equações, fica aquela duvida de “qual superfície usar?”. Bem vamos traduzir o que esse exercício diz , temos então uma casca esférica limitada por uma região.
E essa região limitada da casca esférica que vamos calcular. Lembrando que nossa estrutura de cálculo é
Passo 2
Então vamos usar nossa equação da esfera e projetar ela no plano XY
Logo como vamos projetar em XY, vamos isolar z
Só nos resta agora calcular as derivadas parciais de z
Passo 3
Vamos Unir o que já calculamos a nossa integral
Beleza Agora já temos nossa equação pra integrar. Só precisamos agora terminar descobrir o intervalo de integração. E ele sera todo o espaço dentro do cone, isso significa que teremos uma interseção entre o cone e a esfera
Substituindo z teremos
SHOW!!! Já temos tudo o que precisamos. Já que estamos trabalhando com uma região circular, podemos usar coordenadas polares assim nosso intervalo será
Obedecendo as regras
Vamos arregaçar as mangas e integrar
Essa integral nos já sabemos o resultado, porque derivamos parcialmente e obtemos uma equação parecida. E como nossa função não depende de podemos integrar diretamente e obter o seguinte resultado
Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução
: )