2 . Seja A = { 0, y, z ∈ R^3 ; z^2 + (y - 2)^2 = 1 } ache a área da superfíciegerada pela rotação em torno do eixo Oz do conjunto A.

Passo 1

Estamos Trabalhando com um toroide aqui. Podemos apenas usar a formula padrão do toroide para calcular essa area que nos diz que

A = 2 π   r   2 π ρ

Que é a ideia básica de rotação de um ponto

Pra apenas um ponto se rotacionarmos temos que essa circunferência terá um comprimento de

C = 2 π r

Como temos um tiroide

Temos então ao invés de um único ponto um conjunto de pontos que comporão essa nova circunferência. Então será feito o comprimento do arco do tiroide vezes o nosso conjunto de pontos

A = 2 π   r   2 π ρ

Então como saber o raio do toroide ? Esta tudo na equação

z 2   +   y   -   2 2   =   1

Logo

ρ = 2

r = 1

Visto que y   -   2 2   nos diz que o circulo primário esta afastado em 2 unidades

E z 2   +   y   -   2 2   =   1 nos diz que esse circulo primário tem raio 1

Assim nossa area fica

A = 8 π 2

Passo 2

Outra maneira de calcular é usando a parametrização

x = ( ρ + r cos ⁡ v ) sen ⁡ u

y = ( ρ + r cos ⁡ v ) cos ⁡ u

z = r sin ⁡ v

Sendo no nosso caso

ρ = 2

r = 1

E calcular

∫ ∫ S d S =     ∫ ∫ R ∂ A ∂ u × ∂ A ∂ v   d u d v    

Assim esse produto vetorial fica

∂ A ∂ θ × ∂ A ∂ ϕ =   x → y → z → ( 2 + cos ⁡ v ) cos ⁡ u 2 + cos ⁡ v ( - s e n   u ) 0 - s e n   v cos ⁡ u - s e n v cos ⁡ u cos ⁡ v

= ( 2 + cos ⁡ v ) cos ⁡ u - s e n   u ,   - 2 + cos ⁡ v cos ⁡ u   cos ⁡ v ,   2 + cos ⁡ v ( - s e n   v )      

Assim nossa integração fica

∫ ∫ R ∂ A ∂ u × ∂ A ∂ v   d u d v   → ∫ 0 2 π ∫ 0 2 π 2 + cos ⁡ v ) cos ⁡ u - sen u ⁡ ) ²   +     (   - 2 + cos ⁡ v cos ⁡ u   cos ⁡ v ) ²     +   (   2 + cos ⁡ v ( - s e n   v ) 2   d u d v

=   ∫ 0 2 π ∫ 0 2 π 2 + cos ⁡ v   d u d v

As funções cosseno ou seno integradas no intervalo [ 0,2 π ] retornam 0 . Logo Podemos integrar logo em v e assim anular a função cosseno

∫ 0 2 π ∫ 0 2 π 2 + cos ⁡ v   d u d v → ∫ 0 2 π 4 π   d u = 8 π 2

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

A = 8 π 2

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