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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.3 - Ex. 7

7 . Calcule a área da superfície esférica x 2   +   y 2   +   z 2   =   2 que seencontra dentro do paraboloide z   =   x 2   +   y 2

Passo 1

Pode ate parecer confuso quando temos 2 equações, fica aquela duvida de “qual superfície usar?”. Bem vamos traduzir o que esse exercício diz , temos então uma casca esférica limitada por uma região.

E essa região limitada da casca esférica que vamos calcular. Lembrando que nossa estrutura de cálculo é

∫ ∫ S d S =     ∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

Passo 2

Então vamos usar nossa equação da esfera e projetar ela no plano XY

x 2   +   y 2   +   z 2   =   2

Logo como vamos projetar em XY, vamos isolar z

z = 2 - x 2 - y 2      

Só nos resta agora calcular as derivadas parciais de z

z x = - x 2 - x 2 - y 2

z y = - y 2 - x 2 - y 2

Passo 3

Vamos Unir o que já calculamos a nossa integral

∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

∫ ∫ R ' 1 + - x 2 - x 2 - y 2 2 + - y 2 - x 2 - y 2 2 d y d x

∫ ∫ R ' 2 + x 2 + y 2 - x ² - y ² 2 - x 2 - y 2 d y d x

∫ ∫ R ' 2 2 - x 2 - y 2 d y d x

Beleza Agora já temos nossa equação pra integrar. Só precisamos agora terminar descobrir o intervalo de integração. E ele sera todo o espaço dentro do paraboloide, isso significa que teremos uma interseção entre o paraboloide e a esfera

x 2   +   y 2   +   z 2   =   2

z   =   x 2   +   y 2

Isso nos da a seguinte equação

z 2 + z = 2

Se resolvermos essa equação acharemos que as respostas possíveis são

z = 1     o u     z =   - 2

Z negativa é incongruente com a geometria do problema, logo usaremos z = 1

Assim nossa região será o círculo obtido na curva de nível z 1

Z 1 → x 2 + y 2 = 1

Passo 4

SHOW!!! Já temos tudo o que precisamos. Já que estamos trabalhando com uma região circular, podemos usar coordenadas polares assim nosso intervalo será

0 < r < 1

0 < θ < 2 π

Obedecendo as regras

x 2 + y 2 = r 2

J = r

Vamos arregaçar as mangas e integrar

2 ∫ 0 2 π   ∫ 0 1 1 2 - r ²     r d r d θ

Essa integral nos já sabemos o resultado, porque derivamos z   parcialmente e obtemos uma equação parecida. E como nossa função não depende de θ podemos integrar diretamente e obter o seguinte resultado

2 π * 2   - 2 - r ² r = 0 1

= 2 2 π - 1 - 2

= 2 π 2 2 - 1

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x = 2 π 2 2 - 1

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Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo: g )f x , y , z = z ;σ é a parte da superfície z 2 = x 2 + y 2 que se encontra acima do paraboloide 4 z = x 2 + y 2 + 3 .
Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo: i )f x , y , z = 1 - x 2 ;σ é a parte da superfície cilíndrica z 2 + x 2 = 1 que se encontra dentro do cone z ≥ x 2 + y 2 .
Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo: i )f x , y , z = z 1 + 4 x 2 + 4 y 2 ;σ é a parte do paraboloide z = 1 - x 2 - y 2 que se encontra dentro do cilindro x 2 + y 2 ≤ 2 y .
Calcule ∬_K f (x , y , z) d S sendo:c ) f (x , y , z) = x^2 + y^2 ; sigma (u , v) = (u , v , u^2 + v^2) , u^2 + v^2 = 1 .
Calcule ∬_K f (x , y , z) d S sendo:f (x , y , z) = x y ; sigma (u , v) = (u - v , u + v , 2 u + v + 1) , 0 = u = 1 e 0 = v = u .