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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.3 - Ex. 6

6 . Calcule a área da superfície z = sqrt(x^2 + y ²) , (x - 2)^2 + 4 y^2 <= 1

Passo 1

Pode até parecer confuso quando temos 2 equações, fica aquela dúvida de “qual superfície usar?”. Bem vamos traduzir o que esse exercício diz, temos então uma casca cônica limitada por uma região.

E essa região limitada da casca cônica que vamos calcular. Lembrando que nossa estrutura de cálculo é

int int_S^() d S = int int_(R ')^() sqrt(1 + ((del z)/(del y))^2 + ((del z)/(del x))^2) d y d x

Passo 2

Então vamos usar nossa equação do cone e projetar ela no plano XY

x^2 + y^2 = z^2

Logo como vamos projetar em XY, vamos isolar z

z = sqrt(x^2 + y^2 )

Só nos resta agora calcular as derivadas parciais de z

z_x = (x)/(sqrt(x^2 + y^2))

z_y = (y)/(sqrt(x^2 + y^2))

Passo 3

Vamos Unir o que já calculamos a nossa integral

int int_(R ')^() sqrt(1 + ((del z)/(del y))^2 + ((del z)/(del x))^2) d y d x

int int_(R ')^() sqrt(1 + ((y)/(sqrt(x^2 + y^2)))^2 + ((x)/(sqrt(x^2 + y^2)))^2) d y d x

int int_(R ')^() sqrt(1 + (x^2 + y^2)/(x^2 + y^2)) d y d x

int int_(R ')^() sqrt(2) d y d x

= sqrt(2) int int_(R ')^() d y d x

Beleza agora so precisamos encontrar o intervalo de integração e isso é dado pela nossa região que limita o cone

(x - 2)^2 + 4 y^2 <= 1

Então podemos ser sagazes agora. Essa equação da integral

sqrt(2) int int_(R^')^() d y d x

Significa que estamos calculando a área da nossa região – uma elipse. Isso quer dizer que podemos encurtar os cálculos já que sabemos que a area de uma elipse é

A_e l i p s e = a b pi

Então da equação da elipse

(x - 2)^2 + 4 y^2 <= 1

Podemos dizer que

a = 1

b = (1)/(2)

Visto que a equação canônica de uma elipse é

((x - x_0)/(a))^2 + ((y - y_0)/(b))^2 = 1

Logo a área dessa elipse é

A = 1 * (1)/(2) * pi

A = (pi)/(2)

Logo a área da nossa superfície é

sqrt(2) int int_(R^')^() d y d x -> sqrt(2) ((pi)/(2))

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

int int_(R ')^() sqrt(1 + ((del z)/(del y))^2 + ((del z)/(del x))^2) d y d x = sqrt(2) ((pi)/(2))

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5 . Calcule a área da parte da superfície esférica x 2+y 2+z 2=1 que seencontra dentro do cone z ≥ x 2 + y ² ²