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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 16

Cilindro parabólico cortado por planos – Integre

a. g x , y , z = y z 4 y 2 + 1

b. g x , y , z = z 4 y 2 + 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Para z = 0 , nós temos que y 2 = 1 → y = ± 1 . Portanto, a projeção da região no plano x y é o quadrado

R = x , y , z ∈ R 3 0 ≤ x ≤ 3 ,   - 1 ≤ y ≤ 1 ,   z = 0 }

Neste caso, nós vamos escolher p = k como um vetor normal unitário à região R. Nós podemos noticiar que para f x , y , z = y 2 - x , temos que

∇ f = ∇ y 2 - z = 2 y j - k

Portanto,

∇ f = 2 y j - k = 4 y 2 + 1

∇ f ∙ k = ( - 1 ) = 1

Passo 2

A - Neste caso, a integral de superfície é dada por

∬ g x , y , z d σ = ∬ g x , y , y 2 - 1 4 y 2 + 1   d y   d x

Logo, temos que

∬ g x , y , z d σ = ∫ 0 3 ∫ - 1 1 y ( y 2 - 1 ) 4 y 2 + 1 4 y 2 + 1   d y d x

Então,

∬ g x , y , z d σ = ∫ 0 3 d x ∫ - 1 1 y y 2 - 1 d y

Resolvendo as integrais

∬ g x , y , z d σ = 3 y 4 4 - y 2 2 - 1 1 = 0

Passo 3

B - Para esta segunda integral notamos que

g x , y , y 2 - 1 = y 2 - 1 4 y 2 + 1

Logo, temos que

∬ g x , y , z d σ = ∫ 0 3 ∫ - 1 1 ( y 2 - 1 ) 4 y 2 + 1 4 y 2 + 1   d y d x

Então,

∬ g x , y , z d σ = ∫ 0 3 d x ∫ - 1 1 y 2 - 1 d y

Resolvendo as integrais

∬ g x , y , z d σ = 3 y 3 3 - y - 1 1 = 3 1 3 - 1 = - 2

Resposta

a )   ∬ g x , y , z d σ = 0

b )   ∬ g x , y , z d σ = - 2

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