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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.2 - Ex. 23

Calcule int_C x y d x + ( x + y ) d y ao longo da curva y = x^2 de ( - 1,1 ) a ( 2,4 )

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para calcularmos a integral de linha int_C x y d x + ( x + y ) d y ao longo do caminho C : y = x^2 entre os pontos ( - 1,1 ) a ( 2,4 ) utilizaremos a descrição teórica da página 372 e 373.

Passo 2

Inicialmente expressamos as variáveis x , y em termos do parâmetro t . Teremos então, que x = t , y = t^2 .Vamos começar escrevendo a equação parametrizada de vec r em C . vec r = x vec i + y overset(‾)(j) = t overset(‾)(i) + t^2 vec j , com - 1 <= t <= 2 .Em seguida devemos calcular a derivada do vetor posição,

(d vec r)/(d t) = vec i + 2 vec j

Passo 3

Precisamos também encontrar a equação vetorial vec F parametrizada:

vec F = x y vec i + ( x + y ) vec j = t^3 vec i + (t + t^2) vec j

Podemos agora, calcular o produto escalar vec F * (d vec r)/(d t)

overset(‾)(F) * (d vec r)/(d t) = (t^3 vec i + (t + t^2) overset(‾)(j)) * ( vec i + 2 vec j ) = t^3 + 2 t (t + t^2) = t^3 + 2 t^2 + 2 t^3 = 3 t^3 + 2 t^2

Passo 4

O resultado final será a integral de linha conforme especificado abaixo:

int_a^b vec F * (d vec r)/(d t) d t = int_(- 1)^2 (3 t^3 + 2 t^2) d t = [(3 t^4)/(4) + (2 t^3)/(3)]_(- 1)^2 = (12 + (16)/(3)) - ((3)/(4) - (2)/(3)) = (45)/(4) + (18)/(3) = (69)/(4)

Resposta

Resposta nos passos.

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