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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.3 - Ex. 20

Find the function f such that f^' (x) = x f (x) - x and f (0) = 2

Passo 1

A sacada dessa questão é perceber que estamos com uma equação diferencial de variável separável. Podemos reescrever nossos dados como

f^' (x) = x f (x) - x

(d y)/(d x) = x y - x

f (0) = 2

y (0) = 2

Ficou mais fácil agora ver o que devemos fazer? Tudo que for y vai para um lado, tudo que for x vai para o outro.

(d y)/(d x) = x y - x

(d y)/(d x) = x (y - 1)

(1)/(y - 1) d y = x d x

Dica importante. Tente arrumar as equações de forma que fique mais fácil ver as primitivas. Se facilite o máximo possível. Pode usar a imaginação e manipular as equações conforme for do seu gosto ; )

Passo 2

Agora vamos integral dos dois lados

int (1)/(y - 1) d y = int x d x

ln y - 1 = (x^2)/(2)

y - 1 = e^((x^2)/(2))

Estamos fazendo integrais indefinidas, então temos que adicionar uma constante qualquer C.

y - 1 = e^((x^2)/(2)) + C

y = e^((x^2)/(2)) + C + 1

Mas como nossa constante é completamente arbitraria. Somar ou diminuir qualquer valor, não faz a menor diferença

y = e^((x^2)/(2)) + C

Passo 3

Vamos descobrir agora descobrir o valor de C, já que temos dados de contorno

y (0) = 2

y = e^((x^2)/(2)) + C

2 = e^0 + C

C = 1

Então podemos escrever nossa função como

y = e^((x^2)/(2)) + 1

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

y = e^((x^2)/(2)) + 1

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Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.15. d u d t = ( 2 t + sec 2 ⁡ t ) 2 u u 0 = - 5