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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 9.3 - Ex. 13

Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.

15. d u d t = ( 2 t + sec 2 ⁡ t ) 2 u             u 0 = - 5

Passo 1

Queremos resolver a equação d u d t = ( 2 t + sec 2 ⁡ t ) 2 u , se conseguirmos deixar de um lado termos com somente u e do outro termos com somente t podemos dizer que esta é uma EDO separável, então podemos integrá-la de ambos os lados para encontrar u , dessa forma:

d u d t = ( 2 t + sec 2 ⁡ t ) 2 u

2 u   d u   = ( 2 t + sec 2 ⁡ t )   d t

Passo 2

Agora podemos integrar do lado esquerdo em função de u e do lado direito em função de t , assim:

∫ 2 u   d u = ∫ ( 2 t + sec 2 ⁡ t )   d t    

u 2 = t 2 + tan ⁡ t + C  

Nunca esqueça de que em uma integral indefinida sempre temos uma constante C .

Passo 3

Agora precisamos aplicar o problema de valor inicial para chegar a nossa resposta final.

u 0 = - 5

Isso quer dizer que quando temos t = 0 , nosso u = - 5 . Vamos substituir esses números na equação que encontramos:

( - 5 ) 2 = 0 2 + tan ⁡ 0 + C

25 = C

Então ficamos com u 2 = t 2 + tan ⁡ t + 25 . Tirando o quadrado de ambos os lados temos:

| u | = t 2 + tan ⁡ t + 25

Como u 0 = - 5 < 0 , nós temos u =   - u , portanto:

u = - t 2 + tan ⁡ t + 25 , essa é a solução que estávamos procurando.

Resposta

15.   u = - t 2 + tan ⁡ t + 25

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