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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.2 - Ex. 25

Um fio delgado tem a forma do segmento de reta que une os pontos 1,1   e   ( 2,4 ) . Determinar o momento de inércia do fio em relação ao eixo y = - 1 supondo que a densidade no ponto ( x , y ) é proporcional à distância desse ponto até o eixo dos y .

Passo 1

Vamos começar escrevendo a equação paramétrica da reta que passa por 1,1 e   ( 2,4 ) :

O vetor é:   v → = 1 ,   3 .

r : x = 1 + 1 t y = 1 + 3 t   ,   t ∈ [ 0,1 ]  

A gente deriva essa parametrização:

r ' = 1,3

E faz a norma que é nosso d s :

d s = 1 2 + 3 2 = 10   d t

Passo 2

Ok, vamos ver a distância agora de um ponto qualquer ao eixo. A gente quer a distância de um ponto ( x , y ) a um ponto da reta que pode ser escrito como ( x ,   - 1 ) .

d = x - x 2 + y - - 1 2

d = y + 1 2 = y + 1

E a densidade é proporcional a distância de um ponto eixo y , então nossa densidade é k x .

Vamos montar a integral agora:

∫ a b y + 1 2 k x 10   d y

∫ 0 1 1 + 3 t + 1 2 k 1 + t 10 d t

10 k ∫ 0 1 9 t 2 + 12 t + 4 1 + t d t

10 k   ∫ 0 1 9 t 2 + 9 t 3 + 12 t + 12 t 2 + 4 + 4 t   d t

10 k   9 t 4 4 + 21 t 3 3 + 16 t 2 2 + 4 t 0 1

10 k   9 4 + 7 + 8 + 4

10 k   85 4

= 85 10 k 4

Resposta

85 10 k 4

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Calcule o centro de massa do fio γ t = t , t , t , 0 ≤ t ≤ 1 , com densidade linear δ x , y , z = x y z .
Calcule o momento de inércia do fio homogêneo γ t = cos ⁡ t ,s e nt ,t , 0 ≤ t ≤ π / 2 , em torno do eixo O x .