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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.2 - Ex. 23

Determinar a massa de um fino anel circular de raio 2   c m , sabendo que a sua densidade é constante.

Passo 1

Vamos lá, a gente vai começar parametrizando a região que é um círculo de raio 2 . A parametrização é:

σ = x = 2 cos ⁡ t y = 2   s e n   t

Como é um anel, é um círculo completo, então o intervalo de t é [ 0 ,   2 π ] .

Agora a gente vai derivar essa parametrização:

σ ' = ( - 2 s e n   t ,   2 cos ⁡ t )

Fazemos a norma para encontrar o nosso d s :

d s = - 2   s e n   t 2 + 2 cos ⁡ t 2   d t

= 4   s e n 2 t + 4 cos 2 ⁡ t   d t

= 4 s e n 2 t + cos 2 ⁡ t   d t

= 4 ( 1 ) = 2   d t

Passo 2

Montamos a integral que calcula a massa agora, sendo que a densidade é uma constante K ...

M = ∫ 0 2 π K 2 d t

M = 2 K ( 2 π )

M = 4 π K

Prontinho! Essa é a massa do anel😉

Resposta

M = 4 π K

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