Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.2 - Ex. 27
Dá-se a um arame a forma de um arco de parábola, conforme a figura 9.19.
Se a densidade no ponto é proporcional à sua distância ao eixo de simetria, calcular a massa e o centro de massa do arame.
Passo 1
Essa parábola é da forma .
Para parametrizar, vamos fazer , vamos ter então a parametrização:
A derivada da parametrização é:
E a norma disso (que é o nosso ) é:
Sendo que o intervalo de é .
Passo 2
A densidade é proporcional a distância de um ponto da parábola ao eixo de simetria que é a reta . Então:
A densidade então é .
Vamos dividir isso em dois intervalos. Onde é positivo, e onde é negativo.
Vamos fazer , teremos
(não corta porque os intervalos são diferentes!)
Passo 3
Vamos voltar pra variável agora:
Pronto! Essa é a massa.
Vamos para o centro de massa agora.
Passo 4
A coordenada aqui a gente faz:
Resolvendo essa integral nós chegamos em:
E para a coordenada :
E resolvendo nós encontramos :
Ou seja, o centro de massa é: