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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.2 - Ex. 27

Dá-se a um arame a forma de um arco de parábola, conforme a figura 9.19.

Se a densidade no ponto ( x , y ) é proporcional à sua distância ao eixo de simetria, calcular a massa e o centro de massa do arame.

Passo 1

Essa parábola é da forma x = y 2 .

Para parametrizar, vamos fazer y = t , vamos ter então a parametrização:

C = ( t 2 , t )

A derivada da parametrização é:

C ' = ( 2 t ,   1 )

E a norma disso (que é o nosso d s ) é:

d s = 2 t 2 + 1 2 = 4 t 2 + 1

Sendo que o intervalo de t é [ - 2,2 ] .

Passo 2

A densidade é proporcional a distância de um ponto da parábola ( t 2 , t ) ao eixo de simetria que é a reta y = 0 . Então:

d = t 2 - t 2 + t - 0 2 = t 2 = | t |

A densidade então é k | t | .

Vamos dividir isso em dois intervalos. Onde t é positivo, e onde t é negativo.

∫ - 2 0 - k t 4 t 2 + 1 d t + ∫ 0 2 k t   4 t 2 + 1 d t

- k ∫ - 2 0 t 4 t 2 + 1 d t + k ∫ 0 2 t 4 t 2 + 1 d t

Vamos fazer u = 4 t 2 + 1 , teremos d u = 8 t   d t → d u 8 = t d t

=   - k 8 ∫ u   d u + k 8 ∫ u   d u  

=   - k 8 2 3 u 3 2 + k 8 2 3 u 3 2

(não corta porque os intervalos são diferentes!)

Passo 3

Vamos voltar pra variável t agora:

- k 12 4 t 2 + 1 3 2 - 2 0 + k 12 4 t 2 + 1 3 2 0 2

=   - k 12 1 - 17 3 2 + k 12 17 3 2 - 1

M = k 6 17 3 2 - 1

Pronto! Essa é a massa.

Vamos para o centro de massa agora.

Passo 4

A coordenada x aqui a gente faz:

x - = 1 k 6 17 3 2 - 1 = - k ∫ - 2 0 t 2 t 4 t 2 + 1 d t + k ∫ 0 2 t 2 t 4 t 2 + 1 d t

Resolvendo essa integral nós chegamos em:

x - = 391 17 + 1 170 17 - 10

E para a coordenada y :

y - = 1 k 6 17 3 2 - 1 = k ∫ - 2 0 t 2 4 t 2 + 1 d t + k ∫ 0 2 t 2 4 t 2 + 1 d t

E resolvendo nós encontramos :

y - = 0

Ou seja, o centro de massa é:

C m = 391 17 + 1 170 17 - 10 ,   0

Resposta

M = k 6 17 3 2 - 1

C m = 391 17 + 1 170 17 - 10 ,   0

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