Calcule o momento de inércia do fio homogêneo γ(t) = (cos(t), sen(t), t) , 0 ≤ t ≤ pi / 2 , em torno do eixo O x .

Passo 1

Será que vocês lembram como calcular o momento de inércia?

Eu vou ajudar vocês. Tome que o momento de inércia é definido como

I = ∫ γ r 2 d m

Onde

d m = δ x , y , z   d s

E agora devemos fazer algumas transformações para conseguimos resolvemos nosso problema.

Em nosso capítulo, Integral de linha relativa ao comprimeiro de arco, função f X contínua, definida na imagem de γ , pode ser reescrita como

∫ γ f X d s = ∫ a b f γ t | γ ' t |   d t

E será assim que podemos resolver

Passo 2

Imagine que nosso fio está no espaço x y z . Por pitagora, a distância de qualquer ponto do fio em relação ao eixo x é dada por

r 2 = y 2 + z 2

Outra informação que o problema dos dá é que

δ x , y , z = k = M / L  

Com os valores que foram dados, temos que

r γ t 2 = s e n   t 2 + t 2

Além disso não podemos esquecer que

γ ' t = cos ⁡ t 2 + s e n   t 2 + 1 = 2

Passo 3

Agora que temos nossos fatores, podemos escrever nossa integral como

k 2 ∫ 0 π / 2 s e n 2 t + t 2 d t

A primeira integral pode ser resolvida fazendo uma transformação de

s e n 2 t = 1 2 1 - cos ⁡ 2 t

Assim temos

k 2 ∫ 0 π / 2 1 2 - cos ⁡ 2 t 2 + t 2 d t = k 2 t 2 - s e n   2 t 4 + t 3 3 0 π / 2

Que nos dá finalmente

= k 2 π 4 + π 3 24 = M 4 L 2 π 1 + π 2 6

Resposta

M 4 L 2 π 1 + π 2 6

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O que é o rotacional de um campo vetorial? Como se podeinterpretá-lo?
Fio helicoidal com densidade constante - Encontre a massa e o centro de massa de um fio de densidade constante delta que está ao longo da hélice r(t) = 2 * sen(t) * i + 2 * cos(t) * j + 3 * t * k , 0
Fio com densidade constante - Um fio de densidade constante δ = 1 está ao longo da curva r(t) = e^t * cos(t) i + e^t * sen(t) j + e^t k, 0 ≤ t ≤ ln(2) . Encontre z e Iz .
Fio com densidades diferentes - Encontre a massa de um fio fino ao longo da curva r(t) = raiz(2) * ti + raiz(2) * tj + (4 - t^2) * k, 0 ≤ t ≤ 1 , se a densidade em t for (a) δ = 3t e (b) δ = 1 .
Inércia e centro de massa de uma casca - Encontre I_z e o centro de massa de uma casca fina de densidade δ(x, y, z) = z cortada a partir da porção superior da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 25 pelo plano z