Um fluido tem densidade 870 k g / c m 3 e escoa com velocidade v → = z i → + y 2 j → + x 2 k → , onde x , y , z são medidos em metros por segundo. Encontre a vazão para fora do cilindro x ² + y ² = 4 ² ² , 0 ≤ z ≤ 1 .

Enunciado

Fala, galeraaaa, tudo bem? 😊

Precisamos encontrar a vazão de um fluido com densidade e velocidade (m/s) de escoamento:

Onde a vazão é para fora do cilindro

Pra calcular a vazão , vamos relembrar como é a fórmula:

Onde

Então precisamos primeiro parametrizar a região e usar essas novas variáveis nas outras quantidades.

Para um cilindro de raio , já que

Temos a seguinte parametrização para coordenadas polares:

Com os parâmetros e entre:

Assim o vetor é:

E as derivadas parciais e são:

E o produto vetorial entre eles é:

Vamos ver agora a região de integração. É o cilindro, então:

O vetor nas variáveis de parametrização fica:

E o produto escalar entre e é:

Pronto! Agora é só jogar na integral!

Resgatando a integral do passo temos:

Jogando a constante para fora da integral, e resolvendo entre elas de dentro para fora, ou seja, primeiro em relação a , temos:

Substituindo os limites de integração:

Podemos dividir essa integral em duas:

Assim, teremos:

Show de bolinha! 😊