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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 43

Um fluido tem densidade 870 k g / c m 3   e escoa com velocidade v → = z i → + y 2 j → + x 2 k → , onde x , y , z são medidos em metros por segundo. Encontre a vazão para fora do cilindro x ² + y ² = 4 , 0 ≤ z ≤ 1 .

Passo 1

Fala, galeraaaa, tudo bem? 😊

Precisamos encontrar a vazão de um fluido com densidade 870 k g / c m ³ e velocidade (m/s) de escoamento:

v → = z i → + y 2 j → + x 2 k →

Onde a vazão é para fora do cilindro

x ² + y ² = 4

Pra calcular a vazão j , vamos relembrar como é a fórmula:

j = ∬ S ρ v → ⋅ d S →

Onde

d S = r → u × r → v d A

Então precisamos primeiro parametrizar a região e usar essas novas variáveis nas outras quantidades.

Passo 2

Para um cilindro de raio 2 , já que

x 2 + y 2 = 4 ⏟ r 2

Temos a seguinte parametrização para coordenadas polares:

x = 2 c o s u y = 2 s e n u z = v

Com os parâmetros u e v entre:

0 ≤ u ≤ 2 π 0 ≤ v ≤ 1

Assim o vetor r → é:

r → = 2 c o s u i → + 2 s e n u j → + v k →

E as derivadas parciais r → u e r → v são:

r → u = - 2 s e n u i → + 2 c o s u j →

r → v = 1 k →

E o produto vetorial entre eles é:

r → u × r → v = i → j → k → - 2 s e n u 2 c o s u 0 0 0 1 = 2 c o s u i → + 2 s e n u j →

Passo 3

Vamos ver agora a região de integração. É o cilindro, então:

0 ≤ u ≤ 2 π 0 ≤ v ≤ 1 d A = d u d v

O vetor v → nas variáveis de parametrização fica:

v → = v i → + 4 s e n 2 u   j → + 4 cos 2 ⁡ u k →

E o produto escalar entre n → = r → u × r → v e v → é:

r → u × r → v ⋅ v → = 2 v c o s u + 8 s e n 3 u

Pronto! Agora é só jogar na integral!

Passo 4

Resgatando a integral do passo 1 temos:

j = ∬ S ρ v → ⋅ d S →

j = ∫ 0 2 π ��� 0 1 ρ 2 v c o s u + 8 s e n 3 u d v d u

Jogando a constante ρ para fora da integral, e resolvendo entre elas de dentro para fora, ou seja, primeiro em relação a d v , temos:

ρ ∫ 0 2 π v 2 c o s u + v 8 s e n 3 u 0 1   d u

Substituindo os limites de integração:

ρ ∫ 0 2 π c o s u + 8 s e n 3 u   d u

Podemos dividir essa integral em duas:

ρ ∫ 0 2 π c o s u   d u + ∫ 0 2 π 8 s e n 3 u   d u

Assim, teremos:

j = ρ s e n u - 8 3 2 c o s u + s e n 2 u . c o s u 0 2 π = 0 k g / s

Show de bolinha! 😊

Resposta

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