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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 7

Um foco de uma hipérbole está no ponto ( 0 ,   - 7 ) e a diretriz correspondente é a reta y = - 1 . Encontre uma equação para a hipérbole se sua excentricidade for (a) 2, (b) 5.

Passo 1

Vem comigo pessoal!!

Relembrando que uma hipérbole é o conjunto de pontos em um plano cujas distâncias a partir de dois pontos fixos nesse plano têm uma diferença constante. Os dois pontos fixos são os focos da hipérbole.

A equação da forma padrão da hipérbole com foco no eixo y :

y - y 0 2 a 2 - x - x 0 2 b 2 = 1

Onde:

  • F x 0 ,   y 0 ± c ;
  • c 2 = a 2 + b 2 .

Além disso, a hipérbole tem a seguinte excentricidade:

e = c a = a 2 + b 2 a

Pelo enunciado, sabemos que a hipérbole tem F 0 ,   - 7 e a diretriz é y = - 1 , logo y 0 = 1 . Sabendo disso conseguimos calcular o valor de c , onde:

y 0 + c = - 7

1 + c = - 7

c = - 8

Logo:

c 2 = 64

Passo 2

Para e = 2 :

a = c e = - 8 2

a = - 4 → a 2 = 16

E agora conseguimos encontrar o valor de b 2 :

b 2 = c 2 - a 2 = 64 - 16

b 2 = 48

Então temos nossa equação:

y - 1 2 16 - x 2 48 = 1

Passo 3

E no item b. queremos a equação para e = 5 :

a = c e = - 8 5

a = - 8 5 → a 2 = 64 25

E agora conseguimos encontrar o valor de b 2 :

b 2 = c 2 - a 2 = 64 - 64 25

b 2 = 1536 25

Então temos nossa equação:

y - 1 2 64 25 - x 2 1536 25 = 1

Até mais pessoal, te espero em mais exercícios!

Resposta

  1. y - 1 2 16 - x 2 48 = 1 ;
  2. y - 1 2 64 25 - x 2 1536 25 = 1 .

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