Um foguete subindo verticalmente é acompanhado por uma estação de radar no solo a 5   k m da rampa de lançamento. Com que rapidez o foguete estará subindo quando sua altura for de 4   k m e sua distância da estação do radar estiver crescendo a uma taxa de 2000   k m / h ?

Passo 1

Chamando a distância entre o foguete e a câmera de D , e a altura do foguete num instantengenérico de h , podemos aplicar o teorema de Pitágoras e dizer que:

5 2 + h 2 = D 2

Passo 2

Se a gente derivar essa expressão em relação ao tempo, ficamos com:

d d t ( 5 2 + h 2 ) = d d t ( D 2 )

d 25 d t + d h 2 d t = d D 2 d t  

Como derivada de constante é zero, usando a regra da cadeia:

d h 2 d h d h d t   = d D 2 d D d D d t

2 h d h d t   = 2 D d D d t

Passo 3

O enunciado pergunta a rapidez o foguete estará subindo, ou seja, d h / d t . E nos diz que nesse instante a altura é de 4   k m e sua distância da estação do radar estiver crescendo a uma taxa de 2000   k m / h . Então disso a gente tira que:

h = 4 k m  

d D d t = 2000   k m / h

Além disso, por Pitágoras, conseguimos descobrir o valor de D naquele instante:

5 2 + 4 2 = D 2

D 2 = 41                   ⇒                 D = 41

Passo 4

Substituindo todos esses dados na expressão que a gente encontrou:

2 h d h d t   = 2 D d D d t

2 ( 4 ) d h d t   = 2 ( 41 ) ( 2000 )

d h d t = 500 41   k m / h

Resposta

500 41   k m / h

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