Se f for crescente em um intervalo [0, b] , segue da Definição 4.1.1 que f(0) < f(x) com qualquer x do intervalo (0, b) . Use esse resultado nesses exercícios.

Mostre que x < tg(x) se 0 < x < pi/2 e confirme a desigualdade com algum recurso gráfico computacional. [Sugestão: Mostre que a função f(x) = tg(x) - x é crescente em [0, pi/2] .]

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, precisamos usar as definições e usos das derivadas. Para o caso em questão, temos a sugestão dada para verificar o comportamento da função e ver se ela é crescente ou não.

Usando a derivada, a função é crescente se a sua derivada resultar em um valor maior que 0 dentro de um intervalo aberto.

Passo 2

Então, através da inequação dada

x < t g x

Conseguimos colocar os termos de um lado apenas da equação para obter:

f x = t g x - x

E seguindo a sugestão mostrada no enunciado, podemos verificar se essa função é crescente em um intervalo e, a partir da Definição 4.1 . 1 , comprovar a relação da desigualdade.

Passo 3

Dessa forma, derivando a função:

f ' x = sec 2 ⁡ x - 1

Vemos que a função é crescente para todos os valores 0 ≤ x < π / 2 , porque sua derivada é maior ou igual a zero para o intervalo 0 ,   π / 2 .

Com esse resultado e com a Definição 4.1 . 1 , podemos concluir que:

f x > f 0

Visto que:

f x = t g x - x > f 0 = 0

Então, se 0 < x < π / 2 , essa inequação pode ser reescrita como:

t g x - x > 0

Portanto:

t g x > x

Passo 4

Essa desigualdade ainda pode ser confirmada através do esboço das curvas das funções usadas na inequação. Então, para o nosso caso foi usado o Software online chamados Desmos , no qual foi obtido:

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados